1. 素域和單擴域
1.1 素域
域是一種比較“完整”的結構，它的限制條件比較多，結構自然也就不是很多樣。現在我們來初步研究一下域的結構，研究的方法當然是從小域向大域擴展，若\(F\)是\(E\)的子域，\(E\)也叫\(F\)的擴域或擴張。擴張當然要從最簡單的域開始，我們比較熟悉的簡單域有哪些？最簡單的無窮域是有理數域，它是最小的數域，任何數域都包含有理數域；最簡單的有限域是整數在素數\(p\)下的剩余類域\(Z_p\)。這兩種域都不再有真子域，我們把沒有真子域的域稱為素域，一般記作\(\triangle\)。
那么除了這兩種熟知的素域外，還有別的素域嗎？每個域都含有單位元\(e\)，由\(e\)生成的域就是所有的素域，而它又是某個生成環的商域，故我們可以從\(e\)的生成環\(Z'=\{ne\}\)討論起。當\(\text{char}\triangle=\infty\)時，\(Z'\)與整數環\(Z\)同構，從而它們的商域同構，即\(\triangle\cong\Bbb{Q}\)。當\(\text{char}\triangle=p\)時，前面已經討論過，這樣的環\(Z'\)都同構於同余環\(Z_p\)，進而有\(\triangle\cong Z_p\)。這樣看來，同構意義的下的素域只有\(\Bbb{Q}\)和\(Z_p\)，而且任何域都包含且僅包含一個素域。
1.2 單擴域
有了最簡單的域，接下來就開始對域進行擴張，並需要研究新添加元素的性質，以及擴域的結構特點。在\(F\)的擴域\(E\)中取子集\(S\)，\(F\)中添加\(S\)后生成的擴域記作\(F(S)\)，要注意這個定義總是以擴域\(E\)的存在為前提的。我們來討論這種擴域累加起來有什么性質，考察\(F(S_1)(S_2)\)，由定義知它是包含\(F,S_1,S_2\)的域，而\(F(S_1\cup S_2)\)是包含\(F,S_1\cup S_2\)的最小域，故有\(F(S_1\cup S_2)\subseteq F(S_1)(S_2)\)。同樣也可以推到\(F(S_1)(S_2)\subseteq F(S_1\cup S_2)\)，這樣就得到了公式（1）。
\[F(S_1)(S_2)=F(S_2)(S_1)=F(S_1\cup S_2)\tag{1}\]
以上結論說明擴域\(F(S)\)等價於有限步的局部擴張，而且擴張的順序不影響結果。對局部擴張的研究會有助於整個擴域，特別地我們可以先專注於\(|S|=1\)的擴域\(F(\alpha)\)，它們被稱為單擴域。由域的定義及分式的特點，容易知道\(F(\alpha)\)中的元素都有格式\(\dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}\)，其中\({f(\alpha)},{g(\alpha)}\)為\(F\)中的多項式。所有分式構成了單擴域，但不同分式是有可能指向相同元素的，下面我們就從這里出發，研究單擴域的結構。
多項式是擴域中的基礎結構，對它的討論可以幫助我們分析域的結構。將\(\alpha\in E\)代入\(F\)中的所有多項式\(F[x]\)，得到的值可能兩兩不同，也可能出現重復。當出現重復時，將多項式相減就會得到\(f(\alpha)=0\)，存在這樣多項式的\(\alpha\)稱為\(F\)的代數元，否則稱為超越元。代數元和超越元存在着本質的差異，需要從這個角度討論單擴域的結構。對於有理數域在實數域內的擴張，代數數就是代數元，超越數就是超越元，這里實際上是對它們的擴展討論。
對於諸多滿足\(f(\alpha)=0\)的多項式，總可以找到次數最低的一個首\(1\)多項式。容易證明對代數元\(\alpha\)，這個多項式存在且唯一，它被稱為\(\alpha\)在\(F\)上的最小多項式\(p(x)\)。最小多項式的次數也被稱為代數元的次數，顯然\(F\)中元素的次數都為\(1\)。最小多項式有些簡單的性質，首先它在\(F\)上是不可約的，否則它必有一個因子滿足\(g(\alpha)=0\)，與最小多項式的定義矛盾。其次，對任何滿足\(f(\alpha)=0\)的多項式，必有\(p(x)\mid f(x)\)，否則使用帶余除法可構造出次數更小的多項式滿足\(r(x)=0\)。
圍繞着元素類型或最小多項式，單擴域的結構就比較明顯了。雖然直覺已經告訴了你最終答案，但還是要用嚴格的推理來驗證猜想。推理方法當然是從定義合適的同態映射開始，先驗證生成環的同構，再推演到商域的同構，請自行驗證。當\(\alpha\)為超越元時，生成環顯然和\(F[x]\)同構，從而\(F(\alpha)\)同構於其商環\(F(x)\)。當\(\alpha\)為代數元時，可以證明生成環\(F[x]\)同構於\(F[x]/\langle p(x)\rangle\)，由於\(p(x)\)不可約，該表達式就是一個域，故有\(F[\alpha]=F(\alpha)\)。從而代數元的單擴域就是以\(p(x)\)為模的多項式環（公式（2）），這個結論展示了單代數擴域的簡潔結構，也說明了研究代數擴域的重要性。
\[F(\alpha)=F[\alpha]\cong F(x)/\langle p(x)\rangle\tag{2}\]
以上的結果還表明，若\(\alpha\)的次數為\(n\)，則\(F(\alpha)\)的任何元素都是某個次數次數小於\(n\)的多項式的值\(f(\alpha)=a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{n-1}{\alpha}^{n-1}\)，換句話說每個元素都是\(1,\alpha,\cdots,{\alpha}^{n-1}\)在\(F\)上的線性組合，且容易證明表示法唯一。用線性代數的語言就是，單代數擴域\(F(\alpha)\)是\(F\)上的一個\(n\)維空間，空間的基為\(1,\alpha,\cdots,{\alpha}^{n-1}\)。從這個角度分析單代數擴域也是很有用的。
2. 代數擴域
2.1 代數擴域
在弄清楚單代數擴域的結構后，我們希望進一步研究由更多代數元生成的擴域，或所有元素都是代數元的擴域。首先一個自然的問題是，這兩種擴域一樣嗎？為討論方便，我們定義后者為代數擴域，含有超越元的擴域則叫超越擴域。由於代數擴域總是由代數元生成的，剛才的問題自然變成：由代數元集合\(S\)生成的擴域\(F(S)\)是否一定是代數擴域？直覺告訴我們這個結論是成立的，但仔細琢磨卻又不那么明顯。現在我們分兩步來證明這個猜測，先考慮\(S\)為有限集的場景，然后再推廣到無窮集。
單代數擴域的線性空間結構提示我們研究更一般擴域的維數，如果擴域\(E=F(S)\)是\(F\)上的線性空間，這個空間的維數被稱為\(E\)在\(F\)上的次數，記作\([E:F]\)。\([E:F]\)有限時，\(E\)稱為\(F\)的有限次擴域，否則叫無限次擴域。通過線性代數的簡單推演，我們可以得到次數的累加性（公式（3））。以有限次擴域為例，設\(E\)在\(K\)上的基為\(a_1,\cdots,a_m\)，\(K\)在\(F\)上的基為\(b_1,\cdots,b_n\)，容易證明\(a_ib_j\)就是\(E\)在\(F\)上的基（用線性表示並證明無關性）。
\[[E:F]=[E:K][K:F]\tag{3}\]
對任何\(n\)次擴域，考察任意元素的冪次\(1,\alpha,\cdots,\alpha^n\)，這\(n+1\)個元素必定是線性相關的，從而\(\alpha\)必定是代數元。這就是說有限次擴域總是是代數擴域，可以用它來判斷代數擴域。另一方面，當代數元集合\(S\)為有限集時，\(F(S)\)可以通過有限次的單代數擴域得到，由公式（3）知道\(F(S)\)是\(F\)的有限次擴域，從而它也是代數擴域。這個結論直接說明了，代數元的四則運算還是代數元。而當\(S\)為無窮集時，\(F(S)\)中元素都能表示成\(F\cup S\)中元素的有限個四則運算，從而也是代數元。結合以上兩點就得到結論，\(F(S)\)總是代數擴域。
有了這個基本結論，你可以很容易地證明，\(F\)的代數擴域的代數擴域還是\(F\)的代數擴域。如果擴域\(E\)不是代數擴域，我們可以取出其中的所有代數元，容易證明它們組成的集合\(K\)是一個域，從而\(K\)是\(F\)的代數擴域。\(K\)是\(E\)中最大的代數擴域，\(E-K\)中的元素\(\alpha\)都是超越元，從而\(E\)是\(K\)的純超越擴域。這樣對任何擴域的分析，都可以分成對代數擴域和純超越擴域的討論了。
鑒於多項式的特殊地位，有一類與之相關的代數擴域，這里需要特別討論一下。多項式最重要的自然是它的根，根\(\alpha\)可以從\(f(x)\)中分解出一次項\((x-\alpha)\)，如果\(f(x)\)可以完全分解為一次項，它的所有根就代表了這個多項式。對任何多項式都可以完全分解的域叫代數閉域，顯然它的任何代數擴域都還是它自身，它已經無法再擴張。
代數閉域的條件大部分時候還是太強了，也許討論對某個多項式無法擴張的域對我們更有用。試想\(F\)上的某個多項式\(f(x)\)，如果\(f(x)\)不能完全分解，取其中的不可約因式\(p(x)\)，以它為最小多項式進行擴張，擴域中\(p(x)\)一定是可約的。如此在有限步后，\(f(x)\)就可以在擴域\(E\)中完全分解，而且同構意義下\(E\)是唯一的，它被稱為\(f(x)\)在\(F\)上的分裂域。分裂域其實就是\(f(x)\)的所有根的生成的域\(F(x_1,\cdots,x_n)\)，故它也叫根域，分裂域的定義使得對多項式的討論更加方便，進一步的內容將在下一篇中繼續討論。
2.2 尺規作圖問題
介紹了擴域的基本概念后，我們來看看它在作圖上的一個應用，以鍛煉用抽象概念解決實際問題的能力。尺規作圖是傳統的作圖方法，它使用簡單的工具得到復雜而精確的圖形。即便如此，歷史上任然有一些頑固的作圖問題困擾着人們，經典的幾個被稱為“古典三大作圖難題”。它們分別是：三等分角、化圓為方、倍立方，這里我們用擴域的語言來論證它們不能由尺規作出。縱使已經被證明了不可行性，但仍然有人孜孜不倦地做着嘗試，科學精神的樹立有時候比勤懇更重要。
尺規作圖究竟是什么，一般書上對這個問題並沒有說清，但它對理解作圖難題的不可能性非常重要，以下是一些個人理解。首先我們假定作圖的目的是為了得到某些確切的點，而不是一條直線或曲線，否則隨意畫一條線或一個圓，作圖難題要求的量其實就在其中。其次我們要澄清，這里的所有討論僅限於三大難題或類似的問題，精確地講就是，作圖的已知條件只是一些線段或角。因為事先如果有一些輔助性的曲線，這些難題其實是可以作出的。再次我們還要假定作圖的每一步都是從定點出發（線段的端點、角的三個點），不能從線段或角上非給定點作圖。有人可能有跟我一樣的疑問，如何看待那些任意取點卻作出定點的情況（比如作線段中點）？這里我沒有作完整的推演，只是猜想用定點同樣可以作出那些定點，具體論證且當是一個疑問吧。
現在來看看尺規具體可以作什么：直尺用來畫經過兩點的直線，圓規只能以某點為圓心、以給定的兩點為半徑畫圓。既然初始條件是平面上的一些點，可以選定其中的兩個點作為實數軸上的\(0\)和\(1\)，這樣所有點都可以看出復平面上的一個向量（復數），記這些復數的集合為\(B\)。接下來按照前面的描述，用尺規作出確定的直線和圓，得到更多的確定的點，如果把所有可在有限步內可作出的確定點集（復數）記為\(S\)，點\(z\)可被作出的充要條件是\(z\in S\)。
根據解析幾何的知識，其實我們可以從已知點出發計算出新點（復數）的坐標，通過簡單的驗證你可以發現，新的復數總可以表示為\(B\)中元素的四則運算、共軛或平方根的組合（作為習題）。這就是說\(S\)包含在\(B\)關於四則運算、共軛或平方根的閉包中，反之也容易證明任意已知復數的四則運算、共軛或平方根都可以尺規作圖（作為習題），這就是給了\(S\)一個確定的定義。
下面嘗試用擴域的語言來描述\(S\)，首先容易知道有理數都可以被作出，其次共軛運算在四則運算上是可以保持的，所以可以先定義第一個擴域\(F_1\)（式（4））。為了在平方根上封閉，定義擴域序列\(F_k\)（式（4）），容易證明\(S\)中的任意元素遲早會出現在某個\(F_k\)中，故有\(\cup F_k=S\)。進一步地，\(F_k\)和\(F_{k+1}\)之間其實可以插入有限個單擴域（式子（5））。每個擴域的次數為\(1\)或\(2\)，所以\(S\)中的任何數在\(F_1\)中的次數為\(2\)的冪次，這也就是可作圖的充要條件。
\[F_1=\Bbb{Q}(B,\bar{B}),\quad F_{k+1}=F_k(\sqrt{F_k})\tag{4}\]
\[F_k=K_1\triangleleft K_2\triangleleft \cdots\triangleleft K_n=F_{k+1},\quad K_{i+1}=K_i(\sqrt{a_i})\tag{5}\]
現在回到三大作圖難題，其中化圓為方和倍立方都是給定兩個點，分別作出\(\sqrt[3]{2}\)和\(\pi\)。這兩個問題中\(F_1=\Bbb{Q}\)，可作圖的只能是在\(\Bbb{Q}\)上\(2^n\)次不可約多項式的根。\(\sqrt[3]{2}\)的最小多項式是\(x^3-2\)，而林德曼證明了\(\pi\)是超越數，故它們都不可以被作出。對三等分角，舉\(\dfrac{\pi}{3}\)為例，它給定了復數\(1+\sqrt{3}i\)，容易有\(F_1=\Bbb{Q}(\sqrt{3}i)\)。另外利用三倍角公式知所求復數\(x_0\)是\(f(x)=8x^3-6x-1\)的根，而\(\sqrt{3}i\)不是\(f(x)\)的根，故有\([F_1(x_0):F_1]=3\)，從而\(x_0\)也不可被作出。但並不是說所有角都不可以三等分，比如\(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{3\pi}{10}\)都是可以作出的，請自行驗證。
3. 有限域
我們已經了解了域的一般性結構，現在需要對一些常用的、簡單的域做進一步分析，這些域有着更特殊的性質。有限域是比較有用的一類域，在編碼學等離散數學中有着廣泛應用。由前面的知識我們可以知道，有限域\(F\)的特征為素數\(p\)，\(F\)中包含一個素域\(\triangle=Z_p\)，且它是\(\triangle\)的有限次擴域，若設\([F:\triangle]=n\)，則\(F\)共有\(p^n\)個元素。這些是有限域比較直觀的特點，它有時也被叫做伽羅瓦域，記為\(GF(p^n)\)。現在有兩個比較自然的問題：\(p^n\)階的域一定存在嗎？同構意義下它是否唯一？下面將對其進行分析。
域和環最大的區別在於，域在乘法上構成一個群，這是域有諸多結構特征的根本原因。尤其在有限域里，非零元素組成一個有限群，從而非零元素都滿足\(a^{q-1}=1,(q=p^n)\)，進而任何元素都滿足\(a^q=a\)。由於這\(p^n\)個元素互不相同，從而它們就是多項式\(f(x)=x^q-x\)的根，該域就是\(f(x)\)在\(Z_p\)上的分裂域。前面我們已經知道分裂域的唯一性，所以\(p^n\)在同構意義下是唯一的。
以上討論也啟發了存在性的證明，對多項式\(f(x)=x^q-x\)，設它在\(Z_p\)上的分裂域是\(F\)。在\(F\)上考察\(f(x)\)的任意兩個根\(\alpha,\beta\)，容易驗證\(\alpha-\beta,\dfrac{\alpha}{\beta}\)也是\(f(x)\)的根，從而所有根構成一個域。另一方面，易知\(f'(x)=-1\)，從而\(f(x)\)沒有重根，故根組成的域有\(p^n\)個元素，這就證明了\(p^n\)階域的存在性。
進一步討論域的乘法群，設有非零元素在乘法上的最大階為\(m\)，首先顯然有\(m\mid q-1\)。其次在群論中我們已經知道，任何元素的階都是\(m\)的因子，從而它們都滿足\(f(x)=x^m-1=0\)的根。要使\(f(x)\)有\(q-1\)個不同的根，至少必須\(m\ge q-1\)，所以就有\(m=q-1\)。這個結論說明了非零元素在乘法上是一個循環群，令\(\alpha\)是其中階為\(q-1\)的元素，則容易證明該域是\(\alpha\)在\(Z_p\)上生成的單擴域（公式（6）），\(\alpha\)被稱為域的原根。
\[GF(p^n)=\triangle(\alpha)\tag{6}\]
現在來看看有限域\(F\)有哪些子域，首先子域的階必然是\(p^m,(m\leqslant n)\)，在乘法群中還有\(p^m-1\mid p^n-1\)，由初等數論的知識有\(m\mid n\)。這個結論還可以通過擴域的次數來證明，因為\([GF(p^n):Z_p]=n\)，又\([GF(p^m):Z_p]=m\)，故顯然有\(m\mid n\)。反之當\(m\mid n\)時，我們需要驗證\(p^m\)階子域是否存在。其實前面的證明已經給出了思路，由於\(p^m-1\mid p^n-1\)，故\((x^s-x)\mid (x^q-x)\)，從而\(x^s-x\)在\(F\)中可完全分解，\(s\)個不同的根組成的域就是要找的子域。這就證明了\(F\)的子域的充要條件是\(m\mid n\)，其實由\((x^s-x)\)是\((x^q-x)\)的因子，顯然\(p^m\)階子域也是唯一的。
• 從原根出發，討論有限域及其子域的結構和元素。
4. 可離擴域
4.1 可離元
前面看到，有限域總是一個素域的單擴域，而單擴域的簡單結構是我們所喜愛的，這就不禁想問：什么樣的擴域是單擴域？這個問題比較難回答，但我們可以給出一類常見的代數擴域，它總是單擴域。有一類不可約多項式在其分裂域中沒有重根，這一點對討論單擴域非常有用。為此定義最小多項式沒有重根（在其分裂域中）的代數元為可離元，每個元素都是可離元的擴域稱為可離擴域，每個不可約因式都沒有重根的多項式叫可離多項式。在證明單擴域的結論之前，我先來簡單討論一下可離元和可離擴域的性質，這當然要從沒有重根的不可約多項式研究起。
設\(p(x)\)是\(F\)上的不可約多項式，\(p(x)\)及\(p'(x)\)的表達式如公式（7）。\(p(x)\)有重根的充要條件是\(d(x)=(p(x),p'(x))\)的次數大於\(0\)，由\(p(x)\)不可約知\(d(x)=ap(x),(a\in F)\)，再由\(d(x)\mid p'(x)\)得到\(p'(x)=0\)，即\(a_1=2a_2=\cdots=na_n=0\)。域的特征只有\(\infty\)和\(p\)兩種，當\(\text{char}F=\infty\)時，只能有\(a_1=a_2=\cdots=a_n=0\)，這與\(p(x)\)不可約矛盾，故這種域的不可約多項式都沒有重根。當\(\text{char}F=p\)時，可以得到除\(k\mid p\)外都有\(a_k=0\)，故\(p(x)\)有形式\(g(x^p)\)，這就是不可約多項式有重根的必要條件。
\[p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,\quad p'(x)=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1},\quad a_k\in F\tag{7}\]
有了這個結論，我們就可以繼續研究可離元的特點。既然特征為\(\infty\)的域的不可約多項式都沒有重根，那么它的所有代數元都是可離元，所有代數擴域都是可離擴域。我們現在只需研究特征為\(p\)的域\(F\)，並設\(\alpha\)是\(F\)的可離元，\(\alpha\)當然也是\(F\)任何擴域上的可離元。考察多項式（8），它是擴域\(F(\alpha^p)\)上的多項式，則\(\alpha\)在\(F(\alpha^p)\)上的最小多項式滿足\(p(x)\mid f(x)\)。考慮到\(\alpha\)也是\(F(\alpha^p)\)上的可離元，故必然有\(p(x)=x-\alpha\)，這就得到\(\alpha\in F(\alpha^p)\)，從而\(F(\alpha)\subseteq F(\alpha^p)\)。\(F(\alpha^p)\subseteq F(\alpha)\)是顯然的，故有結論\(F(\alpha) = F(\alpha^p)\)。
\[f(x)=(x-\alpha)^p=x^p-\alpha^p\tag{8}\]
反之，若\(\alpha\)是\(F\)的不可離元，則它的最小多項式有形式\(g(x^p)\)。容易證明\(g(x)\)也是\(F\)上的不可約多項式，而\(g(\alpha^p)=0\)，故\(g(x)\)是\(\alpha^p\)在\(F\)上的最小多項式。\(g(x)\)和\(g(x^p)\)的次數明顯不同，從而\(F(\alpha^p)\)和\(F(\alpha)\)也不可能相同。正反兩方面的證明就得到了：\(\alpha\)是\(F\)上的可離元的充要條件是公式（9）成立，這個結論對下面的討論將很有用。
\[F(\alpha) = F(\alpha^p)\tag{9}\]
有一個基本的問題是，可離元的四則運算還是可離元嗎？或等價命題：若\(\alpha,\beta\)為\(F\)上的可離元，\(F(\alpha,\beta)\)是可離擴域嗎？考慮后一命題，即問\(\gamma\in F(\alpha,\beta)\)是\(F\)的可離元嗎？首先\(\gamma\)當然是\(F(\alpha,\beta)=F(\alpha)(\beta)\)上的可離元，如果要驗證我們的猜想，可以先證明更一般的命題：若\(\alpha\)是可離擴域\(F(\beta)\)上的可離元，則\(\alpha\)也是\(F\)上的可離元。可離元在擴域中當然也是可離元，這個命題是問這個傳遞性在一定條件下能否逆轉？對\(\text{char}F=\infty\)的場景，這一系列結論顯然成立，下面的討論將只針對\(\text{char}F=p\)的域。
因為\(\alpha\)是\(F(\beta)\)上的可離元，由剛才的結論知\(F(\alpha,\beta)=F(\alpha^p,\beta)\)，而我們試圖證明\(F(\alpha)=F(\alpha^p)\)。可以繼續將這個猜想往前推，由於\(F(\alpha^p)\subseteq F(\alpha)\)且\(F(\alpha)\)是\(F(\alpha^p)\)的擴域，故要證的結論等價於\([F(\alpha):F(\alpha^p)]=1\)，繼而等價於式子（10）。最后這個命題其實是要討論\(\beta\)在\(F(\alpha)\)和\(F(\alpha^p)\)上的最小多項式\(h(x),g(x)\)次數相等，而顯然有\(h(x)\mid g(x)\)，故只需證\(g(x)\mid h(x)\)。類似於前面的方法，其實容易證明\(h^p(x)\)是\(F(\alpha^p)\)上的多項式，而顯然\(h^p(\beta)=0\)，再加上\(g(x)\)無重根，只可能是\(g(x)\mid h(x)\)。這就證明了我們的猜想，以及一切的推論，可離元的四則運算還是可離元。
\[[F(\alpha,\beta):F(\alpha)]=[F(\alpha^p,\beta):F(\alpha^p)]\tag{10}\]
4.2 可離擴域和完全域
現在是時候討論可離擴域和單擴域之間的關系了，我們早就知道有限域一定是單擴域，現在只需研究無限域。進一步地我們還需把擴域限定在有次限擴域，並由歸納法容易知道，只需證明\(F(\alpha,\beta)\)是單擴域（\(\alpha,\beta\)為\(F\)分離元），那么任何有限次分離擴域都是單擴域。要證\(F(\alpha,\beta)\)是單擴域，我們需要找到該單擴域的生成元\(\theta\)，它由\(\alpha,\beta\)及\(F\)的元素組成且又能用來表示\(\alpha,\beta\)。這樣的構造有很多可能，但我們其實只需簡單構造一個即可，取\(\theta=\alpha+k\beta,(k\in F)\)，由\(\alpha=\theta-k\beta\)知只需證明\(\beta\in F(\theta)\)即可。
令\(\alpha,\beta\)在\(F\)上的最小多項式分別是\(p(x),q(x)\)，由於\(F(\theta)\subseteq F(\alpha,\beta)\)，則\(q(x)\in F(\theta)[x]\)，要證\(\beta\in F(\theta)\)，只需在\(F(\theta)\)上構造一個與\(q(x)\)僅有一個共同根\(\beta\)的多項式\(h(x)\)。這時候需要借助\(p(x)\)，為使得\(h(\beta)=0\)，自然可以令\(h(x)=p(\theta-kx)\)。為使得\(h(x)\)不含\(q(x)\)的其它根\(\beta_i\)，還得要求\(\theta-k\beta_i\)不等於\(p(x)\)的任意根\(\alpha_j\)，由於\(\beta_i,\alpha_j\)的個數有限，在\(F\)中選擇滿足條件的\(k\)還是可行的。這就構造出了滿足條件的\(\theta\)使得\(F(\theta)=F(\alpha,\beta)\)。
剛才我們證明了有限次分離擴域必是單擴域，並且給出了分離擴域的一些判定條件。其實有一些常用的域，它們的擴域都都是分離擴域，這使得討論更加簡單，為此我們定義這樣的域為完全域或完備域。前面已經知道\(\text{char}F=\infty\)的域就是完全域，現在來研究一下\(\text{char}F=p\)的完全域的充要條件。完全域要求不存在形式為\(g(x^p)\)的不可約多項式，容易看出如果\(g(x)\)的系數都是\(a_k^p\)的形式，\(g(x^p)\)必定是\(h^p(x)\)的形式，從而\(g(x^p)\)可約。也就是說如果\(F\)的每個元素都是某個元素的\(p\)次冪，\(F\)一定是完全域。
反之若\(F\)是完全域，對任意元素\(\alpha\)，\(f(x)=x^p-\alpha\)的分裂域中總有\(\beta\)滿足\(f(\beta)=0\)。而\(f(x)=(x-\beta)^p\)，故\(\beta\)在\(F\)上的最小多項式只能是\(x-\beta\)，這就說明\(\beta\in F\)，即證明了任何元素都是某個元素的\(p\)次冪。綜合這兩點分析，\(\text{char}F=p\)的完全域的充要條件是：任何元素都是某個元素的\(p\)次冪。
• 求證：有限域都是完全域。