向量空間也叫線性空間，是第一次接觸到的與抽象代數接軌的內容。它的引入從某種層面上說明了近幾個世紀代數學發展的一種趨勢：從研究“算術問題”和“計算問題”轉換為研究一種抽象的結構。那到底什么是抽象的結構，又為什么要研究這些抽象的結構呢？從某種層面上，這反應了一種數學的發展，數學家們通過對某種具體的東西研究的過程當中發現，其實有很多很多的定理的證明，它們的方法是相同的，但是，由於所研究的對象不同，又必須寫出不同的證明。舉一個例子：
\[{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{\rm{C}}_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \]
是二項式定理，在高中就已經接觸過，也叫牛頓二項式定理。它的證明方式很多，可以利用組合意義，也可以利用數學歸納法。但是，后來我們又了解到了下面的Leibniz公式：
\[{\left( {fg} \right)^{(n)}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{\rm{C}}_n^k{f^{(k)}}{g^{(n - k)}}} \]
這是$n$階導數的計算公式，形式上和二項式定理非常相似，以致於只要我們接觸過二項式定理，就算不知道Leibniz公式，在算幾項之后，也可以自然地猜出這個公式。然而，我們只能說“易證”而不能說“已證”，因為他與二項式定理研究的是兩個完全不同的對象，我們顯然不能由二項式定理得到它的證明。當然，好戲不止這些，在吉米多維奇習題集上，還有這樣的一道題：
設$a^{[n]}=a(a-h)\cdots(a-(n-1)h)$及$a^{[0]}=1$證明:
\[(a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^{n}\mathrm{C}_{n}^{m}a^{[n-m]}b^{[m]}\]
這道題也和二項式定理一模一樣，也可以算作是二項式定理的一個推廣(取$h = 0$)，但是，很遺憾，它的證明也不能由二項式定理直接推出。還有這樣的一道線性代數題
給定$n$階矩陣$A$,對一個$n$階矩陣$B$,記$f_A(B) = AB - BA$,證明：若$A$是上三角矩陣，且$f_A$是冪零函數，則$A$所有對角元相等
這道題我們需要求出$f^n_A$的表達式，也是二項式定理的形式，但是由於這里研究的對象是矩陣，而不是數，我們仍然不能由二項式定理推出這個命題，而只能由歸納法得到它的表達式，或者說“由歸納法易得”。
這可真是一個麻煩的問題！由於研究的對象不同，我們需要做一遍又一遍重復枯燥的證明，這顯然是數學家們不能容忍的事情。但是，數學家們由此想到了一種辦法：它們干脆不對具體的問題進行研究了，而是把這些具體的東西所具有的一些公共的性質提取出來，而再假設某個集合和它們之間的運算具有這些公共的性質，那么就可以推出這個集合具有的很多性質，再倒推回來，由於某個東西滿足這些性質，自然它們就要滿足已經推出的性質。滿足這些性質的集合很多很多，但就算它們研究的是不同的對象，但是，我們直接從已經推出的這個集合上的性質直接得到它們所滿足的性質，這就給出了一種統一的證明。
由於這個集合是數學家們從某些具體的東西里面提取出來的，但集合本身不是一種具體的事物，因此“抽象”二字由此產生，又因為我們給這個集合強加了一些性質，這些性質可以說成是這個集合的一種“結構”。因此，抽象結構就應運而生了。比如，后面將會提到，上述的幾個“二項式定理”中的實數，函數，矩陣和對應的乘法，求導，$a^{[n]},f_A(B)$的運算所產生的結構都可以看成交換環，這里的交換環就是一種抽象結構，而二項式定理就是交換環上的一個性質，那自然地，我們就給出了一種統一的證明。
綜上，一個“抽象結構”其實就是一個集合和一些運算和性質。有了這樣的思想之后，我們再來研究線性代數里面提到的第一個抽象結構：向量空間。
在此之前，我們需要了解什么叫做域
定義1 一個非空集合$F$叫做一個域(field)，如果在它上面定義了兩種二元運算：加法$+$和乘法$\cdot$，並滿足以下幾個性質
(1) $a + b = b + a ,a \cdot b = b \cdot a$(交換律)
(2) $(a + b) + c = a + (b + c),(a \cdot b)\cdot c = a \cdot ( b \cdot c)$ (結合律)
(3) $ (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (乘法對加法的分配律)
(4)存在一個$0$，使得對於$ a + 0 = a$對任意$a \in F$成立，存在一個$1 \ne 0$，使得$1 \cdot b = b$對任意$b \in F$成立.
(5)對任意$a \in F$,存在一個$-a \in F$,使得$a + (-a) = 0$,對任意的$b \ne 0 \in F$ 存在一個$b^{-1} \in F$,使得$b \cdot b^{-1} = 1$
這里的域就是一種抽象結構，而數學家們從實數的加法運算和乘法運算總結出了上面的五條性質，正如前面所說，有了它之后我們就可以在這個集合上研究很多性質，然后再把它應用到具體的對象當中。但是，這五條性質確實使人眼花繚亂，不知為什么總結這樣五條性質，其實沒有關系，現在可以暫時就把域理解成實數集或者有理數集，有些時候也考慮復數集。后面引入了其他概念之后，域的定義水到渠成就可以得到。強調兩點：定義中的運算二字，嚴格來說是$F \times F$ 到$F$的一個映射。比如，以實數加法為例。“$2+3 = 5 $”如果用集合的語言表述就是說加法這個運算把有序數對$(2,3)$映到了5.用函數的眼光來表述，其實也就是$f(2,3) = 5$當然$f(3,2)$ 也等於5.而二元運算自然就是指兩個元素就可以通過這種運算得到一個新的元素，即這個映射下的像。另外，這里的加法和乘法，包括$1$ 和$0$ 都不是真正的加法和乘法和真正的1 和0. 只是，由於域這種結構是數學家們從實數中抽象出來的，所以用這些名稱來代表這些運算。嚴格來說，這里出現了符號混用略顯不嚴密，但是，這樣做是非常方便的，而也不容易與真正的加法，乘法產生混淆。
有時為了我們的方便與習慣，乘號$\cdot$也經常忽略不寫
有了域之后，我們就可以引入向量空間了。向量空間，顧名思義，是數學家們從平面向量當中抽象出的一種概念(但也沒有用到平面向量中的所有性質，比如內積就沒有引入)，他們發現引入了向量空間之后可以解決很多的問題。
向量空間的定義有一個前提：先給定了一個域$F$。比如，先給定了實數域.自然，域上的運算也給定了。有了$F$ 之后再來研究線性空間。
定義2 給定一個域$F$,一個非空集合$V$叫做$F$上的一個向量空間(vector space)也叫線性空間，如果定義了兩種運算：向量加法$+$和純量乘法(乘號通常省略不寫)，其中加法是$V \times V$到$V$的一個映射，純量乘法是$F \times V$到$V$的一個映射，並滿足以下幾個性質
(1) $\alpha + \beta = \beta + \alpha $對任意$\alpha,\beta \in V$成立(交換律)
(2) $(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ 對任意的$\alpha,\beta,\gamma \in V$成立 (結合律)
(3)存在一個$0 \in V$,我們可以把它稱作零向量滿足 $ \alpha + 0 = \alpha $對任意$\alpha \in V$成立
(4)對任意的$\alpha \in V$，存在一個$-\alpha \in V$,滿足$\alpha + (-\alpha) = 0$
(5)對任意的$\alpha \in V,a,b \in F$,有$(a+b)\alpha = a \alpha + b \alpha$
(6)對任意的$\alpha,\beta \in V,a \in F$有$a(\alpha + \beta) = a\alpha + a \beta$
(7)對任意的$a,b \in F,\alpha \in V$有$a(b \alpha) = (a b)(\alpha)$
(8)$1 \alpha = \alpha$
上面的定義在任何一本線性代數書上都有(怎么記？后面將會提到這根本不用記就能記住)，並由此可以推出很多的性質。此處不再多提，而滿足上面性質的集合$V$ 中的元素，我們就習慣性地稱作“向量”,由此可以看出定義都是按照平時的習慣，比如用希臘字母代表“向量”.而純量乘法等名稱也是從平面向量中借鑒而來。
在我們說明一個集合構成一個向量空間時，我們一定需要指出域是什么，向量加法是怎么定義的，純量乘法是怎么定義的，否則，一切只是空中樓閣。比如，我們不能說全部歐式平面上的向量構成一個線性空間，而應該說全體歐式平面上的向量對於普通定義的加法和純量乘法構成一個向量空間。類似地，我們說一個東西是一個域的時候，也要指出這個域中的加法怎么定義，乘法怎么定義，哪怕它按照我們認為的理所當然的常規進行定義。
在上面所提到的兩個抽象結構當中，域和向量空間是有很多不同之處的，最重要的一點在於：域只是一個集合$F$和兩種運算的事情，而向量空間是兩個集合$V$和$F$和兩種運算的事情，當然，前提是給定了$F$即$F$內的兩種運算。
下面舉幾個不是真正的“向量”的向量空間的例子
例1 定義$\mathbb{R}^n $為所有形如$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$的$n$元數組構成的集合，其中$a_1,\cdots,a_n \in \mathbb{R}$，並定義$(a_1,\cdots,a_n)+(b_1,\cdots,b_n) = (a_1+b_1,\cdots,a_n + b_n ),k(a_1,\cdots,a_n) = (ka_1,\cdots,ka_n)$。其中所有的數均為實數，於是這樣的$\mathbb{R}^{n}$對於所定義的加法和純量乘法是一個域$\mathbb{R}$上的向量空間.
其實可以看出，這個定義是由平面向量的坐標表示推廣到$n$元情形的例子，十分自然.
當然，也有不自然的例子：
例2 給定正整數$n$，考慮所有次數不超過$n$次的實系數多項式構成的集合$K$,多項式的加法和純量乘法按照普通的定義，於是容易驗證滿足上述8條性質，$A$對於所定義的加法和純量乘法構成一個實數域$\mathbb{R}$上的向量空間。
於是，這里我們將每個多項式看成了一個向量，把多項式的集合看成了一個向量空間，顯得突兀，但確實滿足8條性質。我們還有
例3 $\mathbb{R}$對於普通的實數加法和實數乘法可以看成$\mathbb{R}$上的一個線性空間
實數域看成了它自己上的一個向量空間！但確實，它也滿足8條性質，也就是說，這里我們把每個實數看成了一個向量，並且純量乘法原本是實數乘向量，但其實也就是實數乘實數。由此，我們也看到，不是說一個具體的東西只能看成一種抽象結構。比如$\mathbb{R}$對於實數的加法和乘法看成一個域，而也可看成是一個向量空間。
當然，上面的加法和乘法都顯得十分常規，我們還可以讓它不那么常規，比如
例4 給定實數域$\mathbb{R}$(這個域中的加法和乘法也按常規方式定義)，但是，我們考慮正實數集$\mathbb{R}_+$，將它看成實數域$\mathbb{R}$ 上的線性空間，只不過我們將向量加法和純量乘法定義為$a+b = a\cdot b,ab = a^b$。其中，等號右邊都按照我們的常規定義。
這樣，我們將$\mathbb{R}^+$看成了$\mathbb{R}$上的向量空間，但是加法和純量乘法的定義不那么普通了。
當然，幾何對象也可以構成向量空間，而對於向量空間我們有線性相關，線性無關，基，維數，線性映射，線性映射的核與像等概念，但這些概念偏離了主題，具體內容可以參考線性代數教材，此處略過不提.
練習題
1. 驗證例中的對象對於所定義的運算確實構成向量空間
2. 設$F$是一個域，對於正整數$n$，我們定義$n$個$a$的乘法為$a^n$(這樣定義顯然是良定的)，證明：
\[{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{\rm{C}}_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \]
3. 證明：線性空間的性質8不能由前7條推出