本篇為MIT公開課——線性代數 筆記。
置換矩陣
置換矩陣我們記作 \(P\) ，它是行重新排列了的單位矩陣，用於行交換。
上一節課我們進行 \(LU\) 分解時，限定了不需要行交換（消元過程，主元不會是0）,但解除此限制，\(LU\) 分解該如何表示？
加上行交換,對任意可逆矩陣 \(A\) 都有：
置換矩陣的數目
對於一個 \(n*n\) 矩陣，置換矩陣共有：
\(n!\) 為 \(n\) 的階乘。
置換矩陣的性質
置換矩陣的逆等於其轉置，即
轉置矩陣
轉置矩陣我們記作 \(T\) .
用符號表示轉置矩陣，就是\(A\) 的轉置中 \(i\) 行 \(j\) 列的元素是什么？
行元素和列元素互換。
對稱矩陣
對稱矩陣表示，轉置后，矩陣沒有變化。即
對角線兩邊元素對稱，例如：
它具有轉置不變性質。
構建
可以通過長方矩陣 \(R\) 與其轉置 $R^{T} $相乘得到對稱矩陣。
因為我們可以發現，在用點乘過程中，有一些是重復的，比如行一點乘列二，與行二點乘列一，是一樣的。
證明：
注意矩陣乘積的轉置，結果反順序相乘。
因為矩陣乘法，\(m*n\) 乘以 \(n*p\) 矩陣，結果是 \(m*p\) 矩陣，轉置后就是 \(p*m\) 矩陣，所以，要得到相同的結果，就是 \(p*n\) 乘以 \(n*m\) 矩陣 ,即原來兩個矩陣各自轉置后，反順序相乘。
向量空間
向量必須具備的運算包括加法和數乘。
”空間“表示很多向量的集合。但並不是任意組合的向量都能稱為空間，空間必須滿足一定的規則，即該空間內的向量通過加法和數乘進行線性組合后結果還在該集合內。
例子：
\(R^{2}\) 空間
\(R\) 表示我們討論的是實數，並且該向量用兩個實數表示。例如
豎着寫其實只是為了區分幾何上的點的表示方法，然后用方括號表示（只是我用mathematica軟件里面就用這種表示方法，我也就沿用了）。
他們通過 加法和數乘 進行線性組合后，結果還是包含在 \(R^{2}\) 空間內。
從幾何上可以把 \(R^{2}\) 看作是整個 \(x-y\) 平面，但這里需要把它看成所有二維向量所組成的空間。
向量空間一定要有 0 向量（原點），因為其他非0向量通過任意數乘后的結果必須包含在該空間內，數乘項當然包括0，也可以從某個非0向量加上其相反方向和向量，得到0向量來證明，如果不滿足，該集合就不是向量空間。
\(R^{3}\) 空間
\(R^{3}\) 是所有三維實向量組成的向量空間。
例如：0也是一個分量
\(R^{n}\) 空間
\(R^{n}\) 空間是所有 \(n\) 維實向量組成的向量空間。
非向量空間
例如：
在 \(R^{2}\) 中只取第一象限，
1）任取兩個向量，進行加法，由於兩個向量元素都是正實數，相加還是在該象限中。
2）任取一個向量數乘，發現乘以負數，就不在第一象限中。
所以它不是向量時間。對於加法和乘法不存在封閉性。
總的來說，就是對線性組合存在封閉性。
子空間
例如：
\(R^{2}\) 的子空間
\(R^{2}\) 的向量子空間有：
1）\(R^{2}\) 本身
2）過原點的一條直線
3）只有 0 向量
\(R^{3}\) 的子空間
\(R^{2}\)的向量子空間有：
1）\(R^{3}\) 本身
3）只有 0 向量
2）過原點的一條直線
3）過原點的一個平面
構建
實際情況中是怎么構建子空間的呢？
舉例：
這兩個列向量在 \(R^{3}\) 空間內，這兩個列向量的線性組合的所有可能就構成了 這兩個向量張成的子空間。我們把這個子空間記作 \(C(A)\) ,\(C\) 表示 ”column“ 列。
在該例子中，兩個列向量 所有的線性組合 就構成了一個平面 。
根據這個我們可以推論：k個n維向量最多張成n維空間中的k維子空間。