1. 正規擴域
在研究域\(F\)的代數擴張\(E\)時，首要的前提是擴域\(E\)是存在的，其次還要讓所有擴域在同一個空間，即它們之間是可運算的。滿足這樣條件的空間便是\(F\)的代數閉包，使用集合論的語言，代數閉包可以描述成所有多項式的分裂域之並。這個定義合法性其實還是需要推敲的，你可以結合代數擴域的性質自行討論，這里就先假定它的存在性。其次，不同的閉包之間並不一定是互通的，下面的討論將回避這種“平行世界”的討論，將范圍限制在某個選定的代數閉包\(\Omega\)中。
即使只在某個閉包中，滿足特定條件的擴域總也有多種選擇的方法，這種將域對應到閉包中的映射一般稱為域的嵌入，不同的嵌入之間稱為共軛域。它不僅給域找到了統一的閉包，還是研究擴域結構的重要方法（共軛域當然都保持\(F\)完全不變）。在前面構造單擴域時，你可能已經發現，構造出的擴域其實與根的選取無關，它們互為共軛域。如果將單擴域嵌入到閉域中，每一種嵌入方法正好對應\(f(x)\)的一個根，這些共軛域之間可能有互異元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。
以上出現互異元素是因為，可能不是所有根都在同一個單擴域中，我們自然要問：那么不同的分裂域嵌入還會有互異元素嗎？更一般地，考察多項式集合\(S\subseteq F[x]\)的分裂域\(E\)，假設\(E\)同構於另一個分裂域\(E'\)且同構映射為\(\sigma\)。因為任何\(f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)\in S\)的系數在\(F\)中，所以總有\(\sigma(f(x))=f(x)\)，所以\((\sigma(a_1),\cdots,\sigma(a_n))\)只是\((a_1,\cdots,a_n)\)的一個置換。由此若設\(S\)的所有根為\(R\)，則有以下推導過程，也就是說\(E'\)是\(E\)的自同構。
\[E'=\sigma(E)=\sigma(F(R))=F(\sigma(R))=F(R)=E\tag{1}\]
只有自同構共軛的域叫自共軛域，像分裂域這種保持\(F\)不變的域被稱為\(F\)-自共軛域。以上結論證明了：多項式集合的分裂域是自共軛域。容易證明自同構和\(F\)-自同構都形成群，其中自同構群記作\(\text{Aut}(E)\)，\(F\)-自同構群又叫伽羅瓦群，一般記作\(\text{Gal}(E/F)\)，這個群將是我們研究的重點。如果\(E\)是\(f(x)\)在\(F\)上的分裂域，\(\text{Gal}(E/F)\)也叫多項式\(f(x)\)的伽羅瓦群，記作\(\text{Gal}(f)\)或\(\text{Gal}(f,F)\)。
• 證明\(\Bbb{Z},\Bbb{Q},\Bbb{R}\)只有恆等自同構，而\(\Bbb{C}\)的自同構有無窮多個。
\(F\)-自共軛域體現了擴域的唯一性，而另外我們知道，代數擴域可以從任何代數元的單擴域開始。考察\(F\)-自共軛的擴域\(E\)中任意不可約多項式\(f(x)\)，如果它在\(E\)上有一個根\(a\)，則\(E\)可以從\(F(a)\)開始生成。前面的討論中已知，它共軛於一個從\(F(a')\)生成的擴域（\(a'\)為\(f(x)\)的另外一個根），由\(F\)-自共軛域的唯一性可知\(a'\in E\)，故\(f(x)\)在\(E\)中是分裂的。對任意不可約多項式\(f(x)\in F[x]\)，若它有根在擴域\(E\)中，必能得出其它根也在\(E\)中，這種擴域叫正規擴域（要注意，若\(f(x)\)在\(E\)沒有根，並不意味\(f(x)\)在\(E\)中不可分解）。剛才的結論就是說\(F\)-自共軛域是正規擴域，還容易證明正規擴域可以看成是其所有可分裂多項式的生成域，結合前面的結論，以下三個命題是等價的（\(E\)為\(F\)的代數擴域）。
（1）\(E\)是\(F\)的正規擴張；
（2）\(E\)是\(F[x]\)中某個多項式集合的分裂域；
（3）\(E\)是\(F\)-自共軛域。
特別地，若擴張為有限擴張，則第二個命題可以改成某個多項式的分裂域。通過這些等價定義容易證明，正規擴張的交也是正規擴張。所有包含\(E\)的正規擴張的交被稱為正規閉包，對有限擴張容易證明，生成元的最小多項式集合的分裂域便是正規閉包（以上可以作為練習）。
2. 伽羅瓦理論
2.1 伽羅瓦群和固定子域
前面提到過，\(F\)-自同構群是自同構群\(\text{Aut}(E)\)的子群，不同的子域\(F\)對應於不同的子群。這就提醒我們去研究這兩者的關聯，但要注意這里有兩種關聯方法，一種是由\(F\)確定伽羅瓦群\(\text{Gal}(E/F)\)，另一種則是由\(\text{Aut}(E)\)的子群\(G\)確定一個子域\(\text{Inv}(G)\)，它被稱為\(G\)的固定子域。這兩個映射不一定是相同的，至少還需要一些條件，這將是本節的重點。
\[\text{Inv}(G)=\{a\in E\mid \sigma\in G\Rightarrow\sigma(a)=a\}\tag{2}\]
先來看看這些映射的基本性質，首先比較顯然，映射的像的包含關系都和原像的包含關系相反（公式（3），以下將\(\text{Gal}(E/F)\)簡寫為\(\text{Gal}(F)\)）。另外也很容易證明，兩種映射的復合將原像的范圍放大了（公式（4））。對於像這樣的復合運算，分別采用和兩個視角，結合前面兩個包含關系便容易得到復合運算的“消去律”（公式（5））。這些基本性質在下面的討論中非常重要，你需要熟記於心並不產生混淆。
\[G_1\subseteq G_2\Leftrightarrow\text{Inv}(G_1)\supseteq\text{Inv}(G_2),\quad F_1\subseteq F_2\Leftrightarrow\text{Gal}(F_1)\supseteq\text{Gal}(F_2)\tag{3}\]
\[F\subseteq\text{Inv}\circ\text{Gal}(F),\quad G\subseteq \text{Gal}\circ\text{Inv}(G)\tag{4}\]
\[\text{Gal}\circ\text{Inv}\circ\text{Gal}(F)=\text{Gal}(F),\quad \text{Inv}\circ\text{Gal}\circ\text{Inv}(G)=\text{Inv}(G)\tag{5}\]
2.2 伽羅瓦擴張和Artin定理
為了研究自同構子群和子域的關系，我們需要先對它們的特點做進一步研究。先來考察伽羅瓦群\(\text{Gal}(E/F)\)，它的每個元素是一個\(F\)-自同構，群的階就是自同構的個數。對有限擴域有\(E=F(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，所有的嵌入都可以拆分為一系列單擴域\(f(a_1,\cdots,a_{k-1})(a_k)\)的嵌入。之前的結論告訴我們，每個單擴域嵌入的個數\(c_k\)不大於\(a_k\)最小多項式\(f(x)\)的次數\(d_k=[F(a_1,\cdots,a_k):F(a_1,\cdots,a_{k-1})]\)，相等的條件是\(f(x)\)沒有重根。如果還要求是自同構嵌入，則還要求\(f(x)\)的根都在\(E\)中。
總嵌入的個數自然是\(\prod c_k\leqslant\prod d_k=[E:F]\)，伽羅瓦群的個數不大於總嵌入數，相等的條件是\(E\)是正規擴域。總結以上討論便有公式（6）成立，而且等號的成立的一個充分條件是：\(E\)既是正規擴域，又是可離擴域。這種可離正規擴張被稱為伽羅瓦擴張，當然我們僅關注有限伽羅瓦擴張。
\[\left|\text{Gal}(E/F)\right|\leqslant[E:F]\tag{6}\]
現在反過來，對\(E\)自同構群的有限子群\(G\)，考察\(F=\text{Inv}(G)\)與\(E\)的關系。如果\(E\)對\(F\)是有限擴張，由公式和容易得到\(|G|\leqslant|\text{Gal}(F)|\leqslant[E:F]\)。對此Artin卻給出了截然相反的結論，他證明了\([E:F]\leqslant|G|\)（這時\(E\)自然是\(F\)的有限擴張），結合這兩點則恆有公式（7）成立。證明過程充分利用了擴域和自同構的性質，可以作為一個很好的例題示范，下面就來介紹其大致思路。
\[|G|=[E:\text{Inv}(G)]\tag{7}\]
設\(n=|G|\)，先來考察擴域\(E\)在\(F\)上的線性空間的維數，如果維數有限，取\(m\)大於該維數，則\(E\)中任何\(m\)個元素\(a_i\)都是線性相關的。精確一點描述便是，線性方程\(\sum\limits_{i=1}^m{a_ix_i}=0,(a_i\in E)\)在\(F\)上總有非零解，現在我們就來證明\(m>n\)時方程有解。為了聯系上\(G\)，設它的\(n\)個元素是\(\{\sigma_j\}\)，原方程等價於方程組\(\sum{\sigma_j(a_ix_i)}=\sum{\sigma_j(a_i)x_i}=0\)在\(F\)上有解。由於\(m>n\)，該方程組在\(E\)中必定有非零解，我們需要由此構造出\(F\)上的解。
將任意\(\sigma_k\)作用在方程組上得\(\sum{\sigma_k\sigma_j(a_i)\sigma_k(x_i)}=0\)，由於\((\sigma_k\sigma_1,\cdots,\sigma_k\sigma_n)\)只是\((\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\)的一個置換，方程組除了順序沒有發生變化，故\((\sigma_k(x_1),\cdots,(\sigma_k(x_m))\)也是是原方程組的解。因為\((x_1,\cdots,x_m)\)非零，可設\(x_1\ne 0\)，則\(\bar{x}=(1,x'_2=\dfrac{x_2}{x_1},\cdots,x'_m=\dfrac{x_m}{x_1})\)也是方程組的解。若\(x'_i\in F\)都成立，我們的結論得證。否則設\(x'_2\not\in F\)，這就是說存在\(\sigma_k\)使得\(\sigma_k(x'_2)\ne x'_2\)。由於\((1,\sigma_k(x'_2),\cdots,\sigma_k(x'_m))\)也是方程組的根，與\(\bar{x}\)相減便得另一個非零解\((0,x'_2-\sigma_k(x'_2),\cdots)\)，其中非零的元素個數比\(\bar{x}\)少。這個過程只能進行有限步，最終必定可以得到\(F\)上的非零解，Artin定理得證。
• \(K\)為\(F\)的擴域，\(f(x)\in F[x]\)，求證：\(\text{Gal}(f,F)\leqslant \text{Gal}(f,K)\)。
2.3 伽羅瓦理論
有了公式（6）和（7），現在回來討論自同構子群和子域的關系，由於公式（6）等號成立的一個充分條件是伽羅瓦擴張，而伽羅瓦擴張不能處處成立，所以我們把研究限定在某個伽羅瓦擴張中。子域\(F\)對應一個它的伽羅瓦域\(G=\text{Gal}(E/F)\)，反之\(G\)又對應到它的固定子域\(F'=\text{Inv}(G)\)。現在來比較\([E:F]\)和\([E:F']\)，根據公式和分別有\([E:F]=|G|\)和\([E:F']=|G|\)，而公式說明\(F\subseteq F'\)，所以有\(F=F'\)，子域和自同構子群在有限伽羅瓦擴張上建立了對應。
若設\(E,F\)的所有中間域\(F\leqslant F'\leqslant E\)組成集合\(\Sigma\)，容易證明\(E\)對\(\Sigma\)中的所有元素都是有限伽羅瓦擴張。若設\(G\)的所有子群構成集合\(\Gamma\)，則以上結論則建立了從\(\Sigma\)到\(\Gamma\)的單射\(\varphi\)，它滿足公式（8）。反之對任何\(G'\in\Gamma\)，首先有\(|G'|=[E:\text{Inv}(G')]\)，而由公式（6）得\(|\text{Gal}\circ\text{Inv}(G')|=[E:\text{Inv}(G')]\)，所以有\(G'=\text{Gal}\circ\text{Inv}(G')=\varphi(\text{Inv}(G'))\)。這就說明了\(\varphi\)是滿射，從而便是一一映射，所有\(\Sigma\)和\(\Gamma\)之間存在一一映射，滿足公式（8）。
\[\varphi(F')=\text{Gal}(E/F'),\quad\varphi^{-1}(G')=\text{Inv}(G')\tag{8}\]
根據\(\varphi\)的定義，容易有公式（9）成立，其中\(\cup\)表示生成群（域）。另外，由於\([E:F]=|G|,[E:F']=|G'|\)，則\([F':F]=[G:G']\)（后者表示子群的指數）。看到這個式子，你可能會問一個問題：\(F'\)是伽羅瓦擴域與\(G'\)是正規子群之間是不是有什么關聯？容易驗證，對任何\(\sigma\in G\)，\(\sigma G'\sigma^{-1}\)在映射\(\varphi\)中的原像為\(\sigma(F')\)。所以\(G'\)為正規子群的等價條件是\(\sigma(F')=F'\)，即\(F'\)為正規擴域，再由\(F'\)顯然是分離擴域，故\(G'\)為正規子群的等價條件是\(F'\)為伽羅瓦擴域。
\[F_1\cap F_2=\text{Inv}(G_1\cup G_2),\quad F_1\cup F_2=\text{Inv}(G_1\cap G_2)\tag{9}\]
進一步地，設\(H=\text{Gal}(F'/F)\)，構造同態映射\(\eta:H\to G\)，使得\(\sigma=\eta(h)\)滿足\(\sigma(F')=F'\)，顯然同態核為\(G'\)，從而\(H\)與\(G/G'\)同構（公式（10））。
\[\text{Gal}(F'/F)\cong G/G'\tag{10}\]
3. 經典應用
3.1 正多邊形作圖
正多邊形作圖同“三大作圖難題”一樣古老且著名，有時候它們一起並稱為“四大作圖難題”。首先容易證明，如果\(p,q\)互質且正\(p,q\)邊形都可以作出，那么正\(pq\)邊形也可以作出。根據算術基本定理，\(n=2^{e}p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}\)，而正\(2^e\)邊形很容易作出，所以只需研究正\(p_k^{e_k}\)邊形的作圖。
高斯在20歲時作出了正\(17\)邊形，並給出了正\(m\)邊形可作圖的充要條件，這里我們用域的語言重新描述一下論證思路。要想作正\(p_s\)邊形，其實就是作出\(f(x)\)的根\(\omega\)（式（11））。顯然\(\omega\)是\(f(x)\)分裂域的生成元，即\(E=\Bbb{Q}(\omega)\)。上一節的作圖理論中我們知道，\(\omega\)可被作圖的充要條件是：\([E:\Bbb{Q}]=2^t\)。
\[f(x)=x^{p^s}-1,\quad\omega=e^{\frac{2\pi}{p^s}i}\tag{11}\]
由於\(E\)是一個分裂域，它是伽羅瓦擴張，所以有\([E:\Bbb{Q}]=\text{Gal}(E/\Bbb{Q})\)。\(E\)的\(\Bbb{Q}\)-自同構\(\sigma\)由\(\sigma(\omega)\)唯一確定，\(\sigma(\omega)\)只能取\(\omega^{k}\)，其中\((k,p^s)=1\)。由初等數論的知識，\(k\)可取\(\varphi(p^s)=p^{s-1}(p-1)\)個數，所以\(2^t=p^{s-1}(p-1)\)。首先有\(s=1\)，再由初等數論的知識，必須有\(t=2^n\)，且\(2^{2^n}+1\)為素數。
滿足形式（12）的數叫費馬數，以上結論就是說\(p^s\)邊形可作圖的充要條件是：\(s=1\)且\(p\)為費馬素數。那么\(n\)邊形可作圖的條件就是式子（13），其中\(p_k\)為互異的費馬素數。前\(5\)個費馬數恰好是素數，費馬當時斷言所有費馬數都是素數，但至今都還沒有找到第\(6\)個費馬素數。
\[F_n=2^{2^n}+1\quad (F_0=3,\,F_1=5,\,F_2=17,\,F_3=257,\,F_4=65537,\,\cdots)\tag{12}\]
\[m=2^sp_1p_2\cdots p_n,\:(n\geqslant 0)\tag{13}\]
3.2 多項式的求根
多項式求根是古代代數的重要內容，早在公元前的古巴比倫，人們就已經掌握了二次的方程的求根。而文藝復興時期的意大利人，則給出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。對於三次方程，先通過簡單的代換\(y=x+\dfrac{a}{3}\)消除二次項（式（14）），然后利用立方和公式的形式特點將\(y\)參數化\(y=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}\)。由於\(m,n\)可以連續變化，再添加限制條件\(3\sqrt[3]{mn}=p\)，帶入式便將原方程等價於較簡單的方程組（15）。
\[x^3+ax^2+bx+c=0\:\Rightarrow\: y^3=py+q\tag{14}\]
\[mn=(\dfrac{p}{3})^3,\quad m+n=q\tag{15}\]
對於四次方程同樣使用\(y=x+\dfrac{a}{4}\)消除三次項，然后引入參數\(t\)並配方（式（16））。找到合適的\(t\)使方程右側可配方，這樣四次方程就降為了二次方程。而配方成立時\(t\)滿足一個三次方程，上面已經給出了它的求解方法，這樣四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分復雜，這里就不給出了（也沒必要）。
\[x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\:\Rightarrow\: (y^2+t)^2=(2t+p)y^2+qy+(t^2+r)\tag{16}\]
當人們迫不及待地向一般五次方程進軍時，卻發現無論如何都找不到求解公式。所謂“公式”就是四則運算和開方組成的表達式，為了利用擴域的理論，這里需要為開方定義一種的擴域。設\(a\in F\)，代數閉包中\(x^n=a\)的任一根記作\(\sqrt[n]{a}\)，單擴域\(F(\sqrt[n]{a})\)稱為根式擴張。多項式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一個根式擴張鏈（式（17）），它們可包含分裂域\(E\)。這樣的多項式稱為是根式可解的，我們問題就是：什么樣的多項式根式求解？
\[F=F_0\leqslant F_1\leqslant\cdots\leqslant F_n=K,\quad E\subseteq K\tag{17}\]
我們先對根式擴張作一些常規討論，為下面的論證提供有用的工具，以下討論默認擴域可離，所以分裂域都是伽羅瓦擴域。先來考慮方程\(x^n=1\)，它的根稱為\(n\)次單位根。在復數域中，所有單位根組成一個循環群，其中的生成元稱為\(n\)次本原根（\(\omega\)）。其實這個結論在一般域中也成立，因為\(n=\prod{p_k^{e_k}}\)，所以我們只需找到\(p^e\)次本原根即可。容易證明\((x^{p^e}-1)/(x^{p^{e-1}}-1)=0\)的根就是本原根，這樣\(x^n-1\)的分裂域其實就是\(E=F(\omega)\)。
\(F(\omega)\)伽羅瓦群的每個元素由\(\sigma(\omega)=\omega^l,(l,n)=1\)唯一確定，且有到\(Z_n^{*}\)的單同態映射，所以是一個交換群，這樣的擴張稱為阿貝爾擴張。對於\(x^n=a\)的根\(d=\sqrt[n]{a}\)，易知\(d\omega^k\)也是方程的根。為了同樣使用單擴域表示分離域，事先假定\(\omega\in F\)，故\(x^n-a\)的分裂域為\(F(d)\)。\(F(d)\)伽羅瓦群的每個元素由\(\sigma(d)=d\omega^l,(l,n)=1\)唯一確定，且有到\(Z_n^{+}\)的單同態映射，所以是一個循環群，這樣的擴張稱為循環擴張。
把目光專注在根式擴張\(F(d=\sqrt[p]{a})\)上，以上結論說明，當\(\omega\in F,d\not\in F\)時\(\text{Gal}(F(d)/F)\)為\(p\)階循環群。反之若\(\text{Gal}(E)\)為\(p\)階循環群\(\left\langle\sigma\right\rangle\)，取任一\(c\in E-F\)，記\(c_k=\sigma^k(c)\)，構造如下\(d_k\)（式（18））。把它們看成是\(c_0,c_1,\cdots,c_{p-1}\)的方程組，由於范德蒙行列式（參考線性代數）非零，必有某個\(d=d_k\not\in F\)。另外可以驗證\(\sigma(d^p)=\sigma(d)^p=(\omega^{-1}d)^p=d^p\)，故由伽羅瓦理論知\(d^p\in F\)，所以\(E\)為根式擴張。總結以上便是，若\(\omega\in F\)，則根式擴張等價於\(p\)階循環擴張。
\[d_k=c_0+c_1\omega^k+c_2\omega^{2k}+\cdots+c_{p-1}\omega^{(p-1)k},\quad k=0,1,\cdots,p-1\tag{18}\]
現在就來討論什么樣的多項式是根式可解的，根式可解表示有根式擴張鏈\(F=F_0\leqslant\cdots\leqslant F_n=K\)。為了用上伽羅瓦理論，可以將其它根都添加到擴張鏈中，可以假設\(K\)已經是伽羅瓦擴張。為了使用上面的結論，令所有根數\(m_k\)的最小公倍數為\(m\)且\(m\)次本原根為\(\omega\)，將鏈表中的每個擴域進行單擴張\(F'_k=F_k(\omega)\)，顯然\(m_k\)次本原根也在\(F\)中。新擴張鏈（式（19））的每一步都是伽羅瓦擴張，根據伽羅瓦理論知所有伽羅瓦群形成一個正規群列。又因為每個伽羅瓦群都是交換群，故\(\text{Gal}(K(\omega),F)\)為可解群，所以子群\(\text{Gal}(E,F)\)也是可解群。
\[F\leqslant F'_0\leqslant F'_1\leqslant\cdots\leqslant F'_n=K(\omega)\tag{19}\]
反之若\(\text{Gal}(E,F)\)是可解群，取\([E:F]\)次本原根\(\omega\)，由前面的習題知\(\text{Gal}(E(\omega)/F(\omega))\)是\(\text{Gal}(E/F)\)的子群，故也是可解群。根據伽羅瓦理論知存在\(F(\omega)\)到\(E(\omega)\)伽羅瓦擴張鏈，每個擴張的伽羅瓦群都是素數階循環群。再由上面的習題知每個伽羅瓦擴張的階\(m_k\)都是\([E:F]\)的因子，故\(m_k\)階本原根在\(F(\omega)\)中，所以每個擴張為根式擴張。由於\(F(\omega)\)也是根式擴張，故\(E(\omega)\)可由\(F\)根式擴張而來，所以方程根式可解。
這就得到了伽羅瓦的天才的結論：多項式有根式解的充要條件是，它的伽羅瓦群為可解群。這個結論可以應用到任何一個具體的多項式，但方程的“公式”解其實是討論參數化的一般多項式\(f(x)\)（式（20）），其中\(t_k\)是不定元。方程的不變域是\(F=\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)\)，而我們需要判斷\(f(x)\)在\(F\)的伽羅瓦群是否可解。由於\(t_k\)可由\(y_k\)用基本不等式表示，故分裂域\(F(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)\)。
\[f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+t_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^nt_n,\quad t_k=\sigma_k(y_1,y_2,\cdots,y_n)\tag{20}\]
\[g(x)=x^n-p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^np_n,\quad p_k=\sigma_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)\tag{21}\]
但由於\(y_k\)的值和相互關系是從\(t_k\)得來，\(f(x)\)的伽羅瓦群並不好分析。我們更希望\(y_k\)是獨立的不變元，為此我們用不定元\(x_k\)建立多項式\(g(x)\)（式（21）），其系數\(p_k\)為\(x_k\)的基本不等式（\(p_k\)不是不定元）。同樣可有這個方程的不變域為\(\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)\)，擴域為\(\Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)。可以論證（略去）這兩個多項式的伽羅瓦群是同構的（式（22）），而后者同構於\(S_n\)（\(x_k\)為不定元），所以\(f(x)\)有\(n\)個不同的根。再由於\(n\geqslant 5\)時，\(S_n\)不是可解群，故\(f(x)\)不能公式求解。
\[\Bbb{Q}(y_1,y_2,\cdots,y_n)/\Bbb{Q}(t_1,t_2,\cdots,t_n)\cong \Bbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)/\Bbb{Q}(p_1,p_2,\cdots,p_n)\tag{22}\]
至此，我們介紹完了抽象代數的基本概念，但這些僅僅是抽象代數的熱身運動。作為近代數學的基石，它有着十分廣博的內容和無限的智慧，學習它的最終目的，是鍛煉我們的抽象思維和科學的數學觀。帶着這樣的熏陶去學習別的科目，你會有不一樣的高度，對事物的認識不再浮於表面。抽象代數是一個基礎方法，它還有更多生動且深入的內容，有空我還會繼續潛讀各個分支的內容。
【全篇完】