抽象代數基礎掃盲 發現自己真的是對代數一無所知啊qwq。 本文沒有什么實際性的內容，都是一些基本定義 代數的發展歷程 算術(arithmetic) 算術是數學中最古老的部分，算術的最大特點是關注具體數字 初等代數(elementary algebra) 初等代數 ...

　　之前兩篇是群的基本概念，我們對群的結構了解得還很少。進一步的研究需要深入其本質，找到群最關鍵的特點。群的核心其實就是它的變換規律，要想看得更多，就必須回歸到變換的特點上來。由此要把群放在更生動的場景下，才能體現其本性。這個思路是群論思想的精髓，后面我們還會回來繼續研究，而這里只擷取比較簡單 ...

抽象代數學習筆記（8）循環群 在講子群的時候，我們提出了生成子群的概念 \(<S>\)，特別的，如果 \(S=\{s\}，有<S>=<s>\)。根據這些，我們可以引出循環群的概念： 群\(G\)稱為循環群，如果有 \(g\in G\)使得\(G=< ...

習題 4.證明：置換群$G$中若含有奇置換，則$G$必有指數為$2$的子群. 證明 易知$G$中若有奇置換，則奇偶置換各半.不妨設$G$的偶置換為 $${\rm id}=\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{m}$$ 而奇置換$\phi_ ...

1. 同態與理想 　　同態定理和正規子群在分析群的結構中起到了重要的作用，我們可以對環進行同樣的討論。若環\(R_1\)到另一個系統\(R_2\)有映射\(f:R_1\mapsto R_2\)，滿足公式（1），這樣的映射稱為同態映射。若映射為滿的，則稱\(R_1,R_2\)同態，記作\(R_1 ...

1. 陪集 　　現在繼續研究群的分解，先來討論一般子群之間、以及子群和父群的關系。首先根據子群的判定條件，如果\(H,K\leqslant G\)，則很容易有\(H\cap K\leqslant G\)。那么\(H\cup K\)呢?當然這里\(H,K\)都是真子群，並且不互相包含。從\(H ...

　　抽象代數不是為了抽象而抽象，它所研究的代數系統都有着廣泛的實例原型。群論的學習中我們已經看到很多系統同時存在着兩個運算，而且它們是相互關聯的，這就迫使我們來研究這種代數系統的結構和特點。從另一方面看，運算之間的互相牽連也會導致單個運算的特殊性質，你將會在后面的討論中看到這一點。 1. 環 ...

1. 素域和單擴域 1.1 素域 　　域是一種比較“完整”的結構，它的限制條件比較多，結構自然也就不是很多樣。現在我們來初步研究一下域的結構，研究的方法當然是從小域向大域擴展，若\(F\)是\(E ...