高等代數（二）預習
第一個寒假開始了，由於寒假延長，因此有了一些機會做一些學習的工作。原本預定下周一開始，不過今天（2021.1.22）是周五，先預熱一下也不差。
零、高代（二）預習准備
預習高代（二）主要使用：
丘維聲《高等代數（第三版）》下冊.高等教育出版社
清華同學贈送的資料《線性代數入門》
1、環與多項式
一、准備：多項式
代數學中，多項式是一個重要而基本的課題。多項式的基本定義是：
取定非負整數$n$、數域$K$上的$n$個系數$a_n,a_{n-1},...,a_0$，和一個不屬於$K$的符號$x$，那么表達式
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
稱為數域$K$上的一個一元多項式。$x$在這里稱為不定元。如果每個$a$都是$0$，則稱為零多項式。數域$K$上的所有多項式的集合記為$K[x]$。
多項式的一個最重要的性質是：兩個多項式相同，當且僅當其各次項的系數都相同（不含某次則認為系數是0）。有些具體的多項式形式的式子並不具有這個性質，譬如
$-i^3+i^2+\frac{1}{2} = i-\frac{1}{2} , i=\sqrt{-1}$
可見等號的左右兩側都是$i$的一個多項式形式的式子。
多項式的次數定義為其次數最大的系數非零項的次數（此時稱為首項），記為$\deg f$。特別地定義零多項式的次數是$-∞$。
多項式可以定義加法和乘法運算，這些可以從以前學過的數學中繼承。這樣，多項式的次數就滿足如下規律：
$\deg (f+g) \leq \max\{\deg f, \deg g\}$
$\deg fg = \deg f + \deg g$
二、環
定義出多項式之后，我們發現在$K[x]$上，多項式具有熟悉的性質：
1° 加法交換律；
2° 加法結合律；
3° 零元存在，即存在一個多項式$0$，使得任意一個多項式$a$，滿足$0+a=a+0=a$；
4° 負元存在，即對於每個多項式$f$，存在一個多項式$f'$，使得$f+f'=f'+f=0$，這時記$f'=-f$；
5° 乘法結合律；
6° 乘法對加法的左右分配律。
這些性質非常美妙，實際上我們曾經見過的整數集$Z$，甚至$n$級矩陣的集合$M_n(K)$，都具有這6條性質。這告訴我們，這6條性質不一般，我們希望抽象出一個結構專門研究這6條性質。這就是環。不過在做這種抽象之前，先來定義任意集合上的運算：
設存在非空集合$S$，任意一個映射：$\sigma : S \times S \to S$ 稱為$S$上的一個代數運算。
現在來定義環：
設存在一個集合$R$，其上有運算1（稱為加法），以及運算2（稱為乘法），使得這些運算對任意元素滿足1°~6°，那么就稱$R$為一個環。
這時容易驗證環的零元和負元都是唯一的（例如零元，若存在兩個零元$0_1$和$0_2$，那么有$0_2+0_1=0_1+0_2=0_1=0_2$）。
因為任意元素有負元，我們還可以定義$R$上的減法：$a-b:=a+(-b)$。
為了把矩陣包括進環里，我們只要求了6條性質，但除了這6條性質，多項式其實還具有一些額外的性質：
7° 乘法交換律。如果一個環還具有乘法交換律，則稱這個環是交換環。
8° 單位元存在（即零次多項式1）。 如果一個環存在對乘法的單位元（任意$a$，$ea=ae=a$），就稱其為有單位元的環。單位元的唯一性也很好驗證。
9° 無零因子，因而存在乘法消去律。
零因子的定義如下：若環中存在非零的$a$、$b$，使得$ab=0$（$ba=0$），則稱$a$為左（右）零因子，統稱零因子。
由一中給出的多項式乘法和度數的關系，兩個非零多項式之積必非零，也就是$K[x]$不存在零因子。那么就存在消去律：
若存在等式$fg=fh$，且$f$非零，則$g=h$。
無零因子的交換環稱為整環。$K[x]$是整環，$M_n(K)$不是整環。
10° 零次多項式存在逆元（即對零次多項式$a$，存在$a'$，使$aa'=a'a=1$，其中$1$是單位元）。同樣用度數公式可以驗證，只有零次多項式才有逆元。
7~10這4條性質是額外的，環不必需，但擁有它們的環的性質非常好。
還可以知道，除了整數集是一個環，任意數域也都是這樣的環。
從整數環的討論中可以發現，偶數集$2Z$也是一個環，這樣我們還有子環的概念：
如果環$R$的一個子集$R_1$，也對$R$的加法和乘法（不妨記成$+_R$、$·_R$）滿足性質1~6，則稱$R_1$是$R$的子環。
如果環$R_1$是環$R$的子環，那么$R_1$的加法和乘法就是$+_R$、$·_R$，而且對$R_1$的任意兩個元素做加法和乘法，結果也在$R_1$內（實際上從運算的定義可以得知），這樣$R_1$就對$+_R$、$·_R$封閉。
環的加法和乘法通過分配律聯系起來了，這是一個極其重要的規律。可以驗證這樣一個非常基本的性質$0a=a0=0$：
只要有$0a=(0+0)a=0a+0a$
兩邊加上$-0a$：$0=0a+0a+(-0a)=0a$
就驗證完成。
類似的還可以驗證已經熟悉了的$a(-b)=(-a)b=-ab,(-a)(-b)=ab$。
三、環同構、多項式通用性質
從剛剛的多項式定義里，我們發現了一個事實：實際上所有零次多項式和零多項式構成的集合$K[x]_0$，就是數域$K$，也是$K[x]$的一個子環。如果說我們定義一個映射：
$\sigma : K[x]_0 \to K$，將零次多項式和零多項式直接映射成相應的數，則可以驗證這個映射是一個雙射，而且保持加法和乘法，即：
$\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$
$\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$
這樣我們可以發現，$K[x]_0$和$K$有完全一樣的結構。如果兩個環之間存在這樣的雙射，我們就說它們同構，這個映射就叫環同構映射。
學習矩陣的時候，我們發現可以進行這樣的運算：
$(I-A)(I+A)=I^2-AI+IA-A^2=I-A^2$
這和多項式運算不謀而合：
$(1-x)(1+x)=1-x^2$
我們希望可以使得第一個矩陣式中的運算省去中間的一步。可不可以呢？實際上是可以的，這是因為多項式環有這樣的稱為通用性質的性質：
如果存在單位元的交換環$R$的某個子環$R_1$，存在數域$K$到$R_1$的同構映射$\sigma$（這時可以說$R$是$K$的擴環），那么這樣定義（其中$t$是$R$中的元素）：
$F_t:K[x] \to R$
$f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i \to \sum_{i=0}^n \sigma(a_i)t^i := f(t)$
由於多項式的表示法唯一，而且$\sigma$是一個映射，則可以驗證$F_t$是一個映射，而且由於$R$是一個交換環，則$F_t$保持加法和乘法。這個時候，已經可以見到上面的矩陣代入是成立的，只要將數域$K$的數映射到相應的數量矩陣就可以了。這種時候，我們稱$F_t$是多項式環：$x$用$t$代入。
這里我們發現從數域$K$到環$R_1$的同構映射至少要存在單位元之間的映射，否則不可能同構（這也是為什么要求$R$存在單位元）。事實上有一個性質：從數域$K$到某個環$R$的環同構映射，一定將$1$映射成單位元。
另外需要注意，多項式利用通用性質代入只能代入一個元素，譬如我們不能證明$M_n(K)$上有乘法交換律，不能在兩個不同的多項式之間做通用運算。但只代入一個元素$A$，形成一個矩陣多項式集合$K[A]$，這個集合確實可以利用通用性質，也成為一個有單位元的交換環。
多項式環的通用性質非常重要，有了這個性質，我們研究一般的多項式就可以了，像矩陣這樣的問題，直接代入即可。
我們立刻可以應用這個性質：用這個性質，可以驗證矩陣特征值的多項式運算。即：若$\lambda$是$A$的特征值，$f$是一個多項式，則$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值。