3、最大公因式
一、最大公因式的概念
上一篇我們介紹了多項式之間的除法：整除和帶余除法。這之后我們就可以探討一個重要的問題，就是多項式的因式分解問題。在此之前，先來介紹公因式的概念。
定義：$K[x]$上的多項式$f$和$g$的公共因式稱為它們的公因式，即若$p$是$f$、$g$的公因式，則有$p|f$、$p|g$。
容易看出公因式有這樣幾個性質：
1、所有公因式構成一個集合；
2、若$p$是$f$和$g$的公因式，則$cp,c \in K$也是，也即公因式的相伴式也是公因式；
3、任意兩個多項式之間一定存在公因式$b, \deg b = 0$；
4、任意多項式$f$與$0$之間至少存在一個公因式$f$。
公因式中最特殊的是“最大公因式”，定義如下：
若$d$是$f$和$g$的公因式，而$f$、$g$的任一公因式$c$，滿足$c|d$，則稱$d$是$f$和$g$的最大公因式。
最大公因式有如下的性質：
1、若$f$、$g$不全為$0$且最大公因式存在，則不唯一：若$d_1$、$d_2$都是最大公因式，顯然有$d_1 | d_2$、$d_2 | d_1$，即二者相伴；
2、由1立即得：最大公因式在相伴意義下唯一，否則最大公因式將構成一個集合，我們記$(f,g)$是$f$和$g$的首項為1的最大公因式；
3、任意$f$與$0$的公因式$c$一定滿足$c|f$，因此$f$是$f$與$0$的一個最大公因式，這樣，如果我們規定$0$與$0$的最大公因式是$0$（除此之外$0$不會成為最大公因式），就有：
4、任意多項式都是它和它本身的一個最大公因式。
有了3和4，我們下面討論的時候自始至終都假設多項式不全為$0$。
除此之外，最大公因式還有如下非常重要的性質：
5、若$f$和$g$的公因式集合等於$p$和$q$的公因式集合，則任意$f$和$g$的最大公因式集合等於$p$和$q$的最大公因式集合。
證明：若$d$是$f$和$g$的最大公因式，則任意$f$和$g$的公因式$c$，$c|d$，由前提，$c$也是$p$和$q$的公因式，那么由定義就知$d$也是$p$和$q$的最大公因式。反過來同樣證明。
請大家注意這個性質的對稱性要求。此性質的一個直接推論就是：$f$和$g$的最大公因式也是$af$和$bg$的最大公因式，其中$a$、$b \in K$。
另一個推論也類似：$ad-bc \neq 0$時，$(af+bg,cf+dg) = (f,g)$。
二、最大公因式存在定理
前面討論的時候，都假設了最大公因式的存在性。但任意兩個多項式之間都存在最大公因式嗎？這是肯定的，而且最大公因式的性質比我們想的還要更好。在證明這一點之前，我們先來證明一個引理：
引理1：帶余除法等式$f = hg + r$中，$f$和$g$的最大公因式的集合等於$g$和$r$的最大公因式的集合。
證明：改造帶余除法等式：$r=f-hg$。將兩式寫在一起：
$f=hg+r$
$r=f-hg$
我們就能發現$f$、$g$的每個公因式也是$g$、$r$的公因式，反過來，$g$、$r$的每個公因式也是$f$、$g$的公因式，這樣由性質5，就證明了引理。
有了這個引理，我們來證明最大公因式存在定理：
定理：任意$K[x]$中的多項式$f$、$g$，都存在最大公因式$d$，且最大公因式可以表示成兩式的倍式和，即存在$u$、$v$，滿足：
$d=uf+vg$
證明：如果兩式其中之一是$0$（不妨是$g$），則已經有$f$是最大公因式，且$f=1*f+1*0$，下面設均不是$0$：
做帶余除法：
$f=h_1 g+r_1 , \deg r_1 < \deg g$
繼續做：
$g = h_2 r_1 + r_2 , \deg r_2 < \deg r_1$
不斷在帶余除法等式里，重新用余式去除以除式，由於度數是不斷減小的，總有一個時刻有：
$r_{s-2} = h_{s-1} r_{s-1} + r_s , \deg r_s < \deg r_{s-1}$
$r_{s-1} = h_s r_s + 0 , s \in N^*$
由最后一式，我們知道$r_s$就是$r_s$和$r_{s-1}$的最大公因式。再由引理1和倒數第二式，又知道$r_s$是$r_{s-1}$和$r_{s-2}$的最大公因式，不斷向上利用引理1，就明白$r_s$就是$f$和$g$的最大公因式。於是最大公因式的存在性得到了證明。現在來證明定理的后半部分：
倒數第二式表明：$r_s = r_{s-2} - h_{s-1} r_{s-1}$，倒數第三式（未標出）又有：$r_{s-1} = r_{s-3} - h_{s-2} r_{s-2}$，將倒數第三式代入倒數第二式就消去了$r_{s-1}$，不斷用更上面的式子逐一消元，就能證明定理的后半部分。
定理的證明過程告訴我們一個求最大公因式的方法，即輾轉相除法。不斷用余式去除以除式，則一連串式子中最后一個不為$0$的余式就是一個最大公因式。這和求最大公因數的方法相同。
一旦證明了最大公因式的存在性，我們就可以找出幾個最大公因式的更多重要性質：
6、若$d$是$f$和$g$的倍式和，且是它們的公因式，那么$d$就是它們的最大公因式。
證明很顯然：$f$和$g$的任意一個因式當然也是它們的倍式和的因式，由最大公因式的定義就可以證明該性質。
7、$(f,g)h$是$fh$和$gh$的一個最大公因式，特別地，若$h$首1，則$(f,g)h=(fh,gh)$。
證明：$(f,g)h$當然是$fh$和$gh$的一個公因式。下面不妨設$q$為$fh$和$gh$的任一公因式，就有$fh=sq , gh=tq$。另外，我們有：$(f,g)h = ufh+vgh$，這樣就有$(f,g)h = usq+vtq = (us+vt)q$，由$q$的任意性，性質的前半部分就得到了證明。至於后半部分，由最大公因式在相伴意義下唯一，也不難證明。
三、互質多項式
類比整數之間的互質，我們有如下定義：多項式$f$和$g$若$(f,g)=1$，則稱二者互質。我們直接給出互質的判定定理：
互質判定：多項式$f$、$g$互質的充分必要條件是存在$u$、$v$使
$uf+vg=1$
證明：必要性已經不用證明，現在證明充分性：
由於$(f,g) | f$、$(f,g) | g$，就有$(f,g) | (uf+vg)$，則推知$(f,g) = 1$。
互質多項式有一些奇妙的性質，基本上用互質判定定理就可以給出證明，現在基本只是列出這些性質：
1、若$f|gh$且$(f,g)=1$，則$f|h$。
這條性質的證法比較重要，因此給出：由於$f$與$g$互質，因此有$uf+vg=1$，則$ufh+vgh=h$，由於$f|gh$，所以就可以得到$f|h$。
2、已知$(f,g)=1$：
若$f|h$且$g|h$，則$fg|h$；若$(f,h)=1$且$(g,h)=1$，則$(fg,h)=1$。
3、不全為$0$時，$(\frac{f}{(f,g)} , \frac{g}{(f,g)})=1$。（當分母整除分子時，分式也是一個多項式）
4、若$(f,g)=1$，則$(f,f+g)=(g,f+g)=(fg,f+g)=1$。
5、不全為$0$時，有$uf+vg=(f,g)$，此時有$(u,v)=1$。
與互質判定定理類似，我們有不互質判定定理：
不互質判定：$f$與$g$不互質的充分必要條件是存在不為$0$的$u$、$v$，使得
$uf=vg$
而且
$\deg u < \deg g , \deg v < \deg f$
證明：
必要性：由$f$與$g$不互質，我們設$d=(f,g) , \deg d > 0$，且$f=sd , g=td$。則$tf=sg$，而且一定有$\deg t < \deg g , \deg s < \deg f$。
充分性：用反證法。假設滿足條件，且$(f,g)=1$，則存在下式：$sf+tg=1$。兩邊乘以$u$有：
$suf+tug=(sv+tu)g=u$
由於$\deg u <\deg g$，也就是$\deg (sv+tu) < 0$，推出$sv+tu=0$，也即$u=0$，這與前提矛盾，故充分性得證。
四、推廣
上面提到的各種定義都可以從兩個多項式推廣到$n$個多項式，輾轉相除法也是可以保留下來的。重復的定義和性質不再說明，下面說明與兩個多項式不同的情況：
1、我們有$(f_1,f_2,...,f_n)=((f_1,f_2,...,f_{n-1}),f_n)$。
2、$n$個多項式互質不代表兩兩互質，即$(f_1,f_2,...,f_n)=1$無法推出$(f_i,f_j)=1 , 1 \leq i,j \leq n$。
數域$K$上的以上定義、性質也可以向更大的數域$F$推廣。這里有幾點需要注意：
1、數域的推廣可能會增加公因式。譬如$f=x^2+1 , g=x^3+x^2+x+1$在$R$內沒有1次公因式，但是在$C$內則有$x+i$與$x-i$兩個1次公因式。
2、雖然如此，最大公因式不會隨數域的擴大而改變。證明也很簡單，只要根據帶余除法不隨數域擴大而改變即可。這也告訴我們，數域的擴大不改變互質。
數域的縮小一般不是任何時候都能做的，這里就不討論。
另外，最大公因式，以及下面會介紹的最小公倍式，都可以與整數的最大公因數、最小公倍數類比。
五、最小公倍式
類比於公因式和最大公因式，我們還有公倍式和最小公倍式的概念：
定義：若$f|m$且$g|m$，則稱$m$是$f$和$g$的公倍式。
定義：若$m$是$f$和$g$的公倍式，且對任意公倍式$l$，都有$m|l$，則稱$m$是$f$和$g$的最小公倍式。
容易看出最小公倍式在相伴意義下也是唯一的，我們記$[f,g]$是首1的最小公倍式。
也很容易看出$0$總是公倍式，但除非$f=g=0$，否則$0$不會是最小公倍式。
同樣有最小公倍式存在定理：任意非$0$多項式$f$、$g$存在最小公倍式。
證明：由最大公因式存在定理，設$d=(f,g)$，再設$f=ud , g=vd$，由互質的性質5我們有$(u,v)=1$。對於多項式$uvd$，顯然它是$f$、$g$的一個公倍式。
若$l \neq 0$是$f$、$g$的公倍式，設$l=sf , l=tg$，則$l = sud = tvd$，進而推出$u|\frac{l}{d}$、$v|\frac{l}{d}$。由於$(u,v)=1$，由互質的性質2，也就有$uv|\frac{l}{d}$，進而$l=puvd$，也就證明了$uvd|l$，這樣$uvd$是最小公倍式就得到了證明，也即最小公倍式一定存在。
最小公倍式有這樣一個很重要的性質：
假設$f$、$g$首1，有：$[f,g](f,g)=fg$。不再證明。