高等代數 5 二次型
二次型
二次型及其矩陣表示
- 設\(P\)是一數域，一個系數在數域\(P\)中的\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的二次齊次多項式
稱為數域\(P\)上一個\(n\)元二次型，或簡稱為二次型。
- 把（1）的系數排成一個\(n \times n\)矩陣
它就稱為二次型（1）的矩陣。
因為\(a_{ij}=a_{ji},i,j=1,\cdots,n\)，所以，\(A'=A\)。因此二次型的矩陣都是對稱的。
- 令
\[X=\left ( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{matrix} \right ) \]於是二次型可以用矩陣的乘積表示出來\[X'AX=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{matrix} \right )=f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \]
二次型和它的矩陣是相互唯一決定的。
線性替換及其矩陣表示
-
線性替換 設\(x_1,\cdots,x_n;y_1,\cdots,y_n\)是兩組文字，系數在數域\(P\)中的一組關系式
\[\begin{cases} x_1=c_{11}y_1 +c_{12}y_2+\cdots +c_{1n}y_n \\ x_2=c_{21}y_1 +c_{22}y_2+\cdots +c_{2n}y_n\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ x_n=c_{n1}y_1 +c_{n2}y_2+\cdots +c_{nn}y_n \\ \end{cases} \]稱為由\(x_1,\cdots,x_n\)到\(y_1,\cdots,y_n\)的一個線性替換。
如果系數行列式\(|c_{ij}|\neq 0\)，那么線性替換（5）就稱為非退化的。
線性替換把二次型變成二次型。
-
令
\[C=\left ( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\ \end{matrix} \right )， Y= \left ( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{matrix} \right ) \]線性替換可以寫成
\[\left ( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\ \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{matrix} \right ) \]或者 \(X=CY\)
-
替換后的二次型的矩陣與原二次型的矩陣之間的關系
\[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X'AX=(CY)'A(CY)=Y'(C'AC)Y=Y'BY \]因此 \(B=C'AC\)
合同變換
-
定義 數域\(P\)上\(n \times n\)矩陣\(A,B\)稱為合同的，如果有數域\(P\)上可逆的\(n \times n\)矩陣\(C\)，使 \(B=C'AC\)
合同是矩陣之間的一個關系。合同關系具有
- 自反性 \(A=E'AE\)
- 對稱性 由 \(B=C'AC\)可以得到\(A=(C^{-1})'BC^{-1}\)
- 傳遞性 由\(A_1=C_1'AC_1,A_2=C_2’AC_2\)即得\(A_2=(C_1C_2)'A(C_1C_2)\)
因此，經過非退化的線性替換，新的二次型的矩陣與二次型的矩陣是合同的。
標准形
- 數域\(P\)上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換變為平方和\(d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2\)的形式.
二次型\(f(x_1，x_2,\cdots,x_n)\)經過非退化線性替換所變成的平方和稱為\(f(x_1，x_2,\cdots,x_n)\)的一個標准形。
對應的矩陣是對角矩陣
-
在數域\(P\)上，任意一個對稱矩陣都合同於一對角矩陣。
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在一個二次型的標准形中，系數不為零的平方項的個數是唯一確定的，與所做的非退化線性替換無關，二次型矩陣的秩有時就稱為二次型的秩
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在一般的數域中，二次型的標准形不是唯一的而與所作的非退化的線性替換有關。
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配方法
- \(a_{ii}(i=1,2,\cdots,n)\)中至少有一個不為零，不妨設\(a_{11}\neq 0\)，這時
\[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+\sum_{j=2}^n{a_{1j}x_1x_j}+\sum_{i=2}^n{a_{i1}x_ix_1}+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} \\ =a_{11}x_1^2+2\sum_{j=2}^n{a_{1j}x_1x_j}+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} \ (合並x_1出現的交叉項)\\ =a_{11}(x_1+\sum_{j=2}^n{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j})^2-a_{11}^{-1}(\sum_{j=2}^n{a_{1j}x_j})^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j} \ (把x_1湊成平方和) \\ =a_{11}(x_1+\sum_{j=2}^n{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j})^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{b_{ij}x_ix_j} \\ 這里\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{b_{ij}x_ix_j}=-a_{11}^{-1}(\sum_{j=2}^n{a_{1j}x_j})^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{a_{ij}x_ix_j}是一個x_2,x_3,\cdots,x_n的二次型 \]令\[\begin{cases} y_1=x_1+\sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}x_j} \\ y_2=x_2\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ y_n=x_n \\ \end{cases} \]即\[\begin{cases} x_1=y_1-\sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}y_j} \\ x_2=y_2\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ x_n=y_n \\ \end{cases} \]這是一個非退化線性替換，它使\[f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}y_1^2+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^{n}{b_{ij}y_iy_j} \]
- \(a_{ii}(i=1,2,\cdots,n)\)中至少有一個不為零，不妨設\(a_{11}\neq 0\)，這時
-
所有\(a_{ii}=0\)，但至少有一\(a_{qj}\neq 0(j>1)\)，不妨設\(a_{12}\neq 0\)
令
\[ \begin{cases} x_1=z_1+z_2 \\ x_2=z_1-z_2\\ x_3=z_3\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ x_n=z_n \\ \end{cases} \]它是非線性替換，且使
\[ f(x_1，x_2,\cdots,x_n)=2a_{12}x_1x_2+\cdots \\ =2a_{12}(z_1+z_2)(z_1-z_2)+\cdots \\ =2a_{12}z_1^2-2a_{12}z_2^2 \]這時上式右端是\(z_1,z_2,\cdots,z_n\)的二次型，且\(z_1^2\)的系數不為零。
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合同變換法
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\(a_{11}\neq 0\).這時的變數替換為
\[\begin{cases} x_1=y_1-\sum_{j=2}^{n}{a_{11}^{-1}a_{1j}y_j} \\ x_2=y_2\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ x_n=y_n \\ \end{cases} \]令
\[C_1= \left ( \begin{matrix} 1 & -a_{11}^{-1}a_{12} & \cdots & -a_{11}^{-1}a_{1n} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{matrix} \right ) \]則上述變數替換相應於合同變換
\[A \rightarrow C_1^{'}AC_1= \left ( \begin{matrix} a_{11} & O \\ O &A_1-a_{11}^{-1}a'a\\ \end{matrix} \right )\\ 這里 a=(a_{12},\cdots,a_{1n}),A_1=\left ( \begin{matrix} a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right ) \] -
\(a_{ii}=0,i=1,\cdots,n\)但有一\(a_{ij}\neq0,j\neq1\)
作合同變換\(P(2,j)'AP(2,j)\) 可以把\(a_{1j}\)搬到第一行第二列的位置，這樣就變成了配方法中第二種情況。
與第二種情形的變數替換相對應，取
\[C_1= \left ( \begin{matrix} 1 & 1 &0& \cdots & 0 \\ 1 & -1 &0& \cdots & 0 \\ 1 & 1 &1& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots& \cdots & 0 \\ 0 & 0 &0& \cdots & 1 \end{matrix} \right ) \]於是\(C_1'AC_1\)的左上角就是
\[\left ( \begin{matrix} a_{12} & 0 \\ 0 & -2a_{12} \\ \end{matrix} \right ) \]可以歸結到第一種情形
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規范形
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復二次型的規范形
設\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\)是一個復系數的二次型，經過一系列適當的非退化線性替換后，\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)變成標准形。
不妨假定它的標准形是\(d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ry_r^2,d_i\neq 0,i=1,2,\cdots,r\)，易知\(r\)就是\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\)的秩。
因為復數總是可以開平方的，我們再做一個非退化的線性替換
\[\begin{cases} y_1=\frac{1}{\sqrt{d_1}}z_1 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ y_r=\frac{1}{\sqrt{d_r}}z_r\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ y_{r+1}=z_{r+1}\\ \ \ \ \cdots \cdots \\ y_n=z_n \\ \end{cases} \]就變成
\[z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2 \]上式稱為復二次型的規范形
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定理 任意一個復系數的二次型，經過一個適當的非退化線性替換可以變成規范形，並且規范形是唯一的
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定理 任一復數的對稱矩陣都合同於一個形式為
\[\left ( \begin{matrix} 1 & & & & & &\\ &\ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & 0& & & \\ & & & &\ddots & & \\ & & & & & & 0 \\ \end{matrix} \right ) \]的對角矩陣，其中對角線上1的個數\(r\)等於\(A\)的秩。
兩個復數對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等。
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實二次型的規范形
設\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\)是一個實系數的二次型，經過一系列適當的非退化線性替換后，再適當排列文字的次序，可使\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)變成標准形
\[d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2,d_i>0,i=1,\cdots,r;r是二次型的秩 \]因為在實數域中，正實數總是可以開平方的，我們再做一個非退化的線性替換
就變成
上式稱為實二次型的規范形，顯然，規范形完全被\(r,p\)這兩個數所決定。
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定理 任意一個實系數的二次型，經過一個適當的非退化線性替換可以變成規范形，並且規范形是唯一的。
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任一復數的對稱矩陣都合同於一個形式為
\[\left ( \begin{matrix} 1 & & & & & &\\ &\ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & -1& & & \\ & & & &\ddots & & \\ & & & & & & -1 \\ & & & & & & &0 \\ & & & & & & & &\ddots \\ & & & & & & & & &0 \\ \end{matrix} \right ) \]的對角矩陣,其中對角線上1的個數\(p\)及-1的個數\(r-p\)（\(r\)是矩陣\(A\)的秩）都是唯一確定的，分別稱為\(A\)的正、負慣性指數，它們的差\(2p-r\)稱為\(A\)的符號差。
兩個復數對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等。
正定二次型
正定二次型
- 定義 正定二次型 實二次型\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\)稱為正定的，如果對於任意一組不全為零的實數\(c_1,c_2,\cdots,c_n\)都有\(f(c_1,c_2，\cdots,c_n)\)>0。
- 定理 \(n\)元實二次型\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\)是正定的的充分必要條件是它的正慣性指數等於\(n\)。
正定矩陣
- 定義 正定矩陣 實對稱矩陣\(A\)稱為正定的，如果二次型\(X'AX\)正定。
- 一個實對稱矩陣是正定的當且僅當它與單位矩陣合同。
- 正定矩陣的行列式大於零。
順序主子式
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定義 順序主子式
子式
\[H_i=\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1i} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2i} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ii} \\ \end{matrix} \right | (i=1,2,\cdots,n) \]稱為矩陣\(A=(a_{ij})_{nn}\)的順序主子式。
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定理 實二次型
\[f(x_1,x_2，\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{a_{ij}x_ix_j}=X'AX \]是正定的充分必要條件為矩陣\(A\)的順序主子式全大於零。
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定義 設\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\)是一實二次型，對於任意一組不全為零的實數\(c_1,c_2,\cdots,c_n\)
- 如果都有\(f(c_1,c_2，\cdots,c_n)<0\)，那么\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\) 稱為負定的；
- 如果都有\(f(c_1,c_2，\cdots,c_n)\geq0\)，那么\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\) 稱為半正定的；
- 如果都有\(f(c_1,c_2，\cdots,c_n)\leq0\)，那么\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\) 稱為半負定的；
- 如果它既不是半正定又不是半負定，那么\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\) 稱為不定的；
半正定性
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定理 對於實二次型\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)=X'AX\)，其中\(A\)是實對稱的，下列條件等價：
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\(f(x_1,x_2，\cdots,x_n)\)是半正定的；
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它的正慣性指數和秩相同；
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有可逆實矩陣\(C\)，使
\[C'AC= \left ( \begin{matrix} d_1 & & \\ &d_2 & & \\ & &\ddots & \\ & & & d_n \\ \end{matrix} \right ) ,d_i\geq0.i=1,2,\cdots,n; \] -
有實矩陣\(C\)使 \(A=C'C\)
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\(A\)的所有主子式（行指標與列指標相同的子式）皆大於或等於零。
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