轉自：https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/84784311
通過矩陣來研究二次函數（方程），這就是線性代數中二次型的重點。
1 二次函數（方程）的特點
1.1 二次函數
最簡單的一元二次函數就是：
給它增加一次項不會改變形狀：
增加常數項就更不用說了，更不會改變形狀。
1.2 二次方程
下面是一個二元二次方程：
給它增加一次項也不會改變形狀，只是看上去有些伸縮：
1.3 小結
對於二次函數或者二次方程，二次部分是主要部分，往往研究二次這部分就夠了。
2 通過矩陣來研究二次方程
因為二次函數（方程）的二次部分最重要，為了方便研究，我們把含有
個變量的二次齊次函數：
或者二次齊次方程稱為二次型。
2.1 二次型矩陣
實際上我們可以通過矩陣來表示二次型：
更一般的：
可以寫成更線代的形式：
所以有下面一一對應的關系：
在線代里面，就是通過一個對稱矩陣，去研究某個二次型。
2.2 通過矩陣來研究有什么好處
2.2.1 圓錐曲線
我們來看下，這是一個圓：
我們來看改變一下二次型矩陣：
哈，原來橢圓和圓之間是線性關系吶（通過矩陣變換就可以從圓變為橢圓）。
繼續：
咦，雙曲線和圓之間也是線性關系（准確的說是仿射的）。
其實圓、橢圓、雙曲線之間關系很緊密的，統稱為圓錐曲線，都是圓錐體和平面的交線：
從上面動圖可看出，一個平面在圓錐體上運動，可以得到圓、橢圓、雙曲線，這也是它們之間具有線性關系的來源（平面的運動是線性的、或者是仿射的）。
2.2.2 規范化
再改變下矩陣：
這個橢圓看起來有點歪，不太好處理，我們來把它扶正，這就叫做規范化。
如果我們對矩陣有更深刻的認識，那么要把它扶正很簡單。
往下讀之前，請先參看我在如何理解特征值下的回答。
首先，矩陣代表了運動，包含：
-
旋轉
-
拉伸
-
投影
對於方陣，因為沒有維度的改變，所以就沒有投影這個運動了，只有：
-
旋轉
-
拉伸
具體到上面的矩陣：
我把這個矩陣進行特征值分解：
注意我上面提到的正交很重要，為什么重要，可以參看我在如何理解特征值中的解釋。
對於二次型矩陣，都是對稱矩陣，所以特征值分解總可以得到正交矩陣與對角矩陣。
特征值分解實際上就是把運動分解了：
那么我們只需要保留拉伸部分，就相當於把矩陣扶正（圖中把各自圖形的二次型矩陣標注出來了）：
所以，用二次型矩陣進行規范化是非常輕松的事情。
2.2.3 正定
正定是對二次函數有效的一個定義，對方程無效。
對於二次型函數，
：
-
，則
為正定二次型，
為正定矩陣 -
，則 為半正定二次型， 為半正定矩陣 -
，則 為負定二次型， 為負定矩陣 -
，則 為半負定二次型， 為半負定矩陣 -
以上皆不是，就叫做不定
從圖像上看，這是正定：
半正定：
不定：
既然二次型用矩陣來表示了，那么我們能否通過矩陣來判斷是否正定呢？
下面我分別給出了二次型的圖形，以及對應的特征值矩陣的圖形，你可以自己動手試試(3D窗口可以通過鼠標旋轉，方便觀察)，得出自己的結論：
此處有互動內容，點擊此處前往操作。
起碼，我們可以觀察出這個結論，特征值都大於0，則為正定矩陣。
3 總結
在很多學科里，二次型都是主要研究對象，很多問題都可以轉為二次型。線代作為一門數學工具，在二次型的研究中也發揮了很好的作用。
此處可以查看最新版本（可能不定期更新）：如何理解二次型？