一.二次型的概念和變換
1.二次型
二次型，顧名思義，是用於研究二次的方程的，這類方程我們在解析幾何中一定見過，如平面空間中的圓錐曲線方程等。這種類型的方程可以寫成矩陣的形式，如下：
為了研究方便，我們經常將這里的x和y寫成x1和x2，如下：
這個就是二次型的矩陣表示，通常，我們為了研究方便，都取矩陣為對稱矩陣。
2.二次型矩陣的幾何意義
我們以平面直角坐標系中的圓錐曲線方程為例簡單說一說二次型矩陣的幾何意義。對於平面中的單位圓，可以寫成如下形式：
那么我們如果保持坐標系縱坐標不變，橫坐標變壓縮為原來一般，那么圓上所有點都位置不變化（由於橫軸壓縮，橫坐標會變為原來兩倍）的話圓就被拉伸為了一個橢圓，方程如下：
我們可以觀察這兩個矩陣，發現標准圓的二次型矩陣是單位陣，而橢圓的二次型矩陣對應着所有橫坐標壓縮為原來一半的空間變換，恰好和圓到橢圓的變化一致。
這不是個例，在平面中，保持一個圓錐曲線的形狀不變，空間做一定的變換，得到的圓錐曲線在變換后的空間中的方程和二次型方程中矩陣的變化一致。因此，對一個圓錐曲線方程，如果要畫出其圖形，可以先找到變換后的空間，畫出圖形，再將圖形放到標准空間中即可。
同一個圓錐曲線，在不同的坐標系中有不同的二次型矩陣表示，這些所有的二次型矩陣我們稱為合同矩陣（同一二次方程在不同基下的各種不同的二次型矩陣）。
二.二次型的標准型
我們在一中舉例說明了平面中圓錐曲線如何利用矩陣描述，雖然只描述了拉伸變換，但是旋轉變換同理。在一中的所有曲線都是標准型的，什么是標准型？只有平方項的圓錐曲線方程就是標准方程，其對應的二次型矩陣就是標准型，也就是說標准型矩陣只有主對角線上的數字不為0，其他數字都是0，這種矩陣稱為對角矩陣。
因此，對於任意一個圓錐曲線，我們便自然想到一個化標准型的方法：對圓錐曲線方程進行配方，找到一組新的基代替原來的基，使圓錐曲線方程中只有平方項。如下面的例子：
顯然，這里有一個矩陣能使（x,y）向量右乘它后變為（x+y,y）向量，同時（x,y）T向量左乘它的轉置后變為（x+y,y）T，這個向量也很容易求得，就是：
這個矩陣對應了一個線性變換的過程，原來的圓錐曲線圖形所在平面直角坐標系在經過了這個矩陣對應的線性空間變換后，就能使新的圓錐曲線的長軸和x軸重合，短軸和y軸重合（實際上經過變換后的圓錐曲線在統一新的坐標系的x軸和y軸單位長度后已經是一個圓了）。