行列式
n階行列式的計算：
其中t為排列\(p_1p_2p_3 \cdots p_n\)的逆序數，由於這樣的排列共有\(n!\)個，所以n階行列式共有\(n!\)項。
行列式的性質：
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行列式與他的轉置行列式相等
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對換行列式的兩行/列，行列式變號
可推出：如果行列式有兩行/列完全相等，則行列式等於0
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行列式的某一行/列中多有元素乘以k，等於k乘以此行列式
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行列式中如果有兩行/列元素成比例，則此行列式等於0
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把行列式的某一行/列元素同乘以某數k，再加到另一行/列對應元素上，行列式不變
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如下：
\[若D=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{i1}+a_{i1}^, & a_{i2}+a_{i2}^, & \cdots & a_{in}+a_{in}^, \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{matrix}\right| \]
行列式等於它的任一行/列各個元素與其對應得代數余子式乘積得和。
矩陣的運算
矩陣的一般運算
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矩陣加法：兩同型矩陣對應元素相加。
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數與矩陣相乘：等於該矩陣所有元素同乘該數。
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矩陣與矩陣相乘：如\(AB\)結果的第i行j列元素為A的i行與B的j列對應元素相乘再相加。
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矩陣的轉置：
\[(A^T)^T=A\\ (A+B)^T=A^T+B^T\\ (\lambda A)^T=\lambda A^T\\ (AB)^T=B^TA^T \] -
方陣的行列式：
伴隨矩陣：
其中\(A_{ij}\)為\(|A|\)的代數余子式
逆矩陣
定義：對於n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B使得\(AB=BA=E\)，那么稱A可逆，B為A的逆矩陣。
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若A可逆，則\(|A| \neq 0\)
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若\(|A| \neq 0\)，則:
\[A^{-1}=\frac{A^*}{|A|} \]
當\(|A|=0\)時，A稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣。由以上兩定理可知：
A是可逆矩陣的充分必要條件是\(|A| \neq 0\)，即可逆矩陣就是非奇異矩陣。
逆矩陣滿足下述運算規律：
逆矩陣的初步運用
設\(\varphi (A)=a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\)為矩陣A的m次多項式。
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如果\(A=P\Lambda P^{-1}\)，則\(A^k = P\Lambda^kP^{-1}\)，從而：
\[\begin{align} \varphi(A) & = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m \\ & = Pa_0EP^{-1} + Pa_1\Lambda P^{-1} + \cdots + Pa_m\Lambda^m P^{-1} \\ & = P(a_0E + a_1\Lambda + \cdots + a_m\Lambda^m)P^{-1} \\ & = P \varphi(\Lambda)P^{-1} \end{align} \] -
如果\(\Lambda = diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)為對角矩陣，則\(\Lambda^k = diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k)\)，從而：
\[\begin{align}\varphi(\Lambda)& = a_0E + a_1A + \cdots + a_mA^m\\& = \left[\begin{matrix} \varphi(\lambda_1) \\ &\varphi(\lambda_2)\\ &&\ddots\\ &&&\varphi(\lambda_n)\end{matrix}\right]\end{align} \]
克拉默法則
- 如果線性方程的系數矩陣A的行列式不等於零，則方程組有唯一解：
\[x_n = \frac{|A_n|}{|A|} \]
分塊矩陣
- 轉置：
- 分塊對角矩陣：\(A_i\)是方陣，則如下A分塊矩陣為分塊對角矩陣
分塊對角矩陣有如下性質：
矩陣的初等變換與線性方程組
矩陣的初等變換
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如果矩陣A經過有限次初等行變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B行等價。
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如果矩陣A經過有限次初等列變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B列等價。
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如果矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價。
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由單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣，初等矩陣可逆，有限個可逆矩陣乘積仍然可逆。
行階梯形矩陣：非零行在零行上面，非零行的首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面。
行最簡形矩陣：非零行的首非零元為1，首非零元所在的列的其余元均為0。
方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣\(P_1P_2\cdots P_l\)使得\(A=P_1P_2\cdots P_l\)。
可推出：方陣A可逆的充要條件是A與E行等價。
矩陣的秩
K階子式與秩：在m行n列的矩陣A中，任取k行k列，位於這些行列交叉處的元素，不改變相對位置而得到的K階行列式，稱為A的k階子式。A的最高階子式設為r階子式，那么r就為A的秩 ，記作R(A)=r 。
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如果A行等價B，則A與B中非零子式的最高階數相等。
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\(R(A)=R(A^T)\)。
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可逆矩陣又稱滿秩矩陣，不可逆矩陣又稱為降秩矩陣。
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初等變換作為一種運算，其深刻意義在於不改變矩陣的秩。
性質（不完全）：
- \(R(A+B) \leq R(A)+R(B)\)
- \(R(AB) \leq min\{R(A), R(B)\}\)
- 若\(A_{m,n}B_{n,l}=O\)，則\(R(A) + R(B) \leq n\)
- 若\(AB=O\)且A為滿秩矩陣，則\(B=O\)。
線性方程組的解
n元線性方程組\(Ax=b\) 。
- 無解充要條件是\(R(A)<R(A,b)\)。
- 唯一解充要條件\(R(A)=R(A,b)=n\)。
- 無窮解充要條件\(R(A)=R(A,b)<n\)
- \(Ax=0\)有非零解的充要條件是\(R(A)<n\)。
- 矩陣方程\(AX=B\)有解的充要條件是\(R(A)=R(A,B)\)。
- 設\(AB=C\)，則\(R(C)\leq min\{R(A), R(B)\}\)