【線性代數】筆記 期末復習

線性代數

一、行列式

是一個數（只看結果） 且 行數等於列數

規范：行 r ，列 c

簡化計算：把主對角線下方全變成0

1. 排序與逆序數

逆序數：逆序對的數量

求：看前面有幾個比它大的

2. n階行列式定義

計算：不同行不同列乘積的代數和（項數\(n!\)）

先把行進行順排列，**系數 = \((-1)^{\tau 列}\) ** ($\tau $列表示列的逆序數量)

例題1：

分析：常數項，所以不取0也不取x，然后按照每行每列只取一個的規則進行枚舉，排除不可能的情況，剩下的就是所求

答案：A

例題2：

思路同上，枚舉排除

答案：-5 （做對了，開心）

特殊性質：

上三角、下三角、對角行列式中，值為：

1. （主對角線）：\(a_{11}a_{22}...a_{nn}\)
2. （副對角線）：\((-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\,a_{11}a_{22}...a_{nn}\)

3. 性質

1. 轉置：經轉置（i, j 互換）行列式不變

2. 互換：互換兩行(列)，行列式變號 （推論1：如果行列式中有兩行 / 列相等，那么這個行列式為0）

   某行(列)乘 k ，等於 k 乘此行列式（推論2：如果行列式中有兩行 / 列成比例，那么這個行列式為0）

3. 倍加：某行(列)加 / 減另一行(列)的幾倍，行列式不變

4. 純數值型行列式：高斯消元法（把第一列中最簡單的放到第一行，下面全部變成0）

5. 拆分：若行列式的某一行 / 列的元素都是兩數之和，則此行列式等於兩個行列式之和（只有一行 / 列不同，只能是單行單列拆分！！！）

   例題：

   

   分析：此題拆分后可以大大簡化計算

   答案：12

4. 展開

1. 余子式\(M_{ij}\)（消去 i 行 j 列之后的結果）

2. 代數余子式 \(A_{ij} = (-1)^{i + j}·M_{ij}\)

3. 展開定理：該行元素和該行元素所對應的代數余子式的線性和

   適用：0 比較多

某行或某列的代數余子式線性和問題：

把該行 / 列換成所求系數，所求就是行列式的值

原理：該行代數余子式的值與該行無關

若所求為余子式之和，先轉化為代數余子式，再求

例題：

技巧：進行一些行列之間的加減，使得該行系數化繁為簡（首項化為1）

4. 展開定理性質：某一行 / 列的元素與另一行 / 列的對應元素的代數余子式乘積之和等於0

\[a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn} = \begin{cases} D, & \ i = j \\ 0, & \ i \not= j \\ \end{cases} \]

例題：

思路：化為相應系數

答案：1（第一行換成1的上三角）

5. 范德蒙行列式

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\ x_1 & x_2 & ... & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & ... & x_n^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n - 1} & x_2^{n - 1} & ... & x_n^{n - 1} \end{vmatrix} = \prod_{n\geq i > j\geq 1}(x_i - x_j) \]

例1：

例2：

典中典：

6. 計算及應用

1. \[\begin{vmatrix} x & a & ... & a\\ a & x & ... & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & ... & x \end{vmatrix} = (x - a)^{n - 1}[x + (n - 1)a] \]

​ 對角線上是一個數，其余全一樣

2. \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\ x_1 & x_2 & ... & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & ... & x_n^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n - 1} & x_2^{n - 1} & ... & x_n^{n - 1} \end{vmatrix} = (x_n - x_{n - 1})(x_n - x_{n - 2})(x_n - x_{n - 3})......(x_n - x_1)(x_{n - 1} - x_{n - 2})(x_{n - 1} - x_{n - 3})......(x_{n - 1} - x_1)......(x_2 - x_1) \]

3. 1. 兩行 (列) 相同或成比例時， 行列式為0；
   2. 某行 (列) 為兩項相加減時，行列式可拆成兩個行列式相加減

4. 求余子式\(M_{ij}\)（消去 i 行 j 列之后的結果）、代數余子式 \(A_{ij} = (-1)^{i + j}·M_{ij}\)

5. 某一行或某一列只有一個非零

\[D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ...... + a_{in}A_{in} (第 i 行)\\D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ...... + a_{nj}A_{nj} (第 j 列)\ \]

6. 多個 A 或 M 相加減：用 A 前面的系數來替換下標所指的數，如果是 M 的話就先把它轉換成 A（變符號）
7. 判斷方程組解的情況

\[\begin{array}{c|lcr} 方程組 & D \neq 0 & D = 0 \\ \hline 齊次 & 只有一組零解 & 有零解與非零解 \\ 非齊次 & 只有一組非零解 & 有多個解或無解 \\ \end{array} \]

（齊次：右邊全0 ； 非齊次：右端有常數項存在）

7. 題型

1. 行之和或列之和相等時，行相等加到第一列，列相等加到第一行，提取公因子，轉化為

   \[\begin{vmatrix} x & a & ... & a\\ a & x & ... & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & ... & x \end{vmatrix} = (x - a)^{n - 1}[x + (n - 1)a] \]

   

2. 矩陣

1. 矩陣相乘

前行乘后列（第 i 行第 j 列的值是第 i 行乘第 j 列的值）

特殊矩陣

1. 0 矩陣 （全0）乘任何矩陣相乘都為 0 ：A · 0 = 0
2. 對角線為 1 ，其他都為 0 的矩陣 E 等價為 1： A · E = A
3. 矩陣相乘順序不能顛倒：\(AB \neq BA\)
4. \(AX = AY\)不能推出\(X = Y\)
5. \((AB)^k\) 不一定等於 \(A^kB^k\)
6. \(A^2 + (k + j)AB + kjB^2\) 不一定等於 \((A + kB)(A + jB)\)

​ 但里面有一個是 E 時，可以轉化：

​ \(A^2 + 2A + E = A^2 + 2AE + E^2 = (A + E)^2\)

2. 矩陣取行列式

換成行列式，行列式的值就是所求

性質：\(|λA| = λ^n|A|\)

3. 矩陣轉置

把第 i 行變成第 i 列

1. 列乘行乘列：先用行乘列
2. \((AB)^T = B^TA^T\)
3. \(|A^T| = |A|\)

4. 證明矩陣可逆

1. 矩陣 A 為方陣
2. \(|A| \neq 0\) 或者 \(\exists B\) ，滿足\(AB = E 或 BA = E\)

​ (兩個都要滿足)

5. 求逆矩陣

​ \((A \vdots E)\) 經過下列3個操作后變成\((E \vdots A^{-1})\)

1. 換行
2. 某行乘上一個數字
3. 一行加上或減去另一方乘數字

​ (也就是把 A 變成 1 矩陣，右邊 E 所進行相應變換的結果就是所求)

6. 利用 A· A^-1 = E 或 A^-1· A = E計算

7. 利用 A· A^* = |A|E 或 A^*· A = |A|E計算

直接代公式，把 \(A^*\) 消掉

8. 求矩陣的秩

進行行變換，使得下行左端 0 比上行多，直到下面行全為 0 為止（化為“嚴格階梯型“）

化完之后，非 0 行有多少個，秩就是多少

9. 已知秩，求矩陣里的未知數

先做變換，把除未知數外的盡可能化為 0

矩陣初識

方陣

下標只有一個的時候表示方陣（行數等於列數）
方陣才有主對角線
（小心i == j處的邊界判斷）

1. 上三角形矩陣：下為0
2. 下三角形矩陣：上為0
3. 對角矩陣：上下都為0
   表示方法：

\[diag(a_{11}, a_{22}, ... , a_{nn}) \]

4. 數量/純量矩陣：主對角線上的元素都相同
5. 單位矩陣：主對角線上的元素都為1，用I，E來表示

線性方程

給出線性方程組可得，
先處理線性方程組：同種下標對其，沒有的補0，常數項都在右邊
系數矩陣：A
增廣矩陣：B （帶右邊的常數項）
齊次方程組：常數項全為0

矩陣的初等行變換

高斯消元

解方程
高斯消元：線代行列變換——>系數矩陣（正）

初等行列變換：

1. 把某一行乘一個非零的數
2. 交換某兩行
3. 把某行的若干倍加到另一行去
   經上述操作，最終解不變，方程組變為上三角形式。

解的可能性：（看三角形）

1. 無解：零 = 非零
2. 無窮解：零 = 零
3. 唯一解：完美階梯形

高斯消元法：
枚舉每一列c（從第一列開始挨個往后看）“大頂10”

1. 找絕對值最大的一行

2. 將該行換到最上面

3. 將該行第一個數變成1（同時除一個非零常數）

4. 將下面所有行的第c列消成0（同時加減）

5. 把處理完的那些列固定，重復執行1~5的操作

6. 記得倒着把方程消一遍

簡圖：

實現過程中要小心的易錯點：

1. eps 輔助浮點數判斷，精度問題
2. 記得 “ 倒消 ” ；
3. 排除-0.00的狀況
4. 個人犯的sb錯誤：賦值寫成相等orz

行階階梯形矩陣

非0行的非0首元下面和之前的元素都是0
如果有-行，0行排在最后面

行階最簡型矩陣

非0行的非0首元都是1，上下都是0

討論解的可能性

矩陣乘法

法則

滿足以下條件之一就可以交換：

1. 單位矩陣乘
2. 兩個對角矩陣相乘

矩陣轉置

性質：

\[(AB)^T = B^T * A^T \]

3. 向量

（1）向量空間和子空間

（2）線性組合和線性表出

（3） 線性相關 線性無關

1. 定義

存在一組不全為0的\(k\)，使得：

\[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0 \]

則\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)是線性相關的；

若\(k\)全為0時，等式才成立，則稱\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)是線性無關的；

2. 性質

1. 向量組\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)線性相關的充分必要條件是此向量組中至少有一個向量是其余向量的組合

2. 有\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)和\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\)兩組向量，如果二者中的每一個都可以用另一組表示出，則稱兩向量組等價

   1. “若多的可以被少的線性表示，則多的線性相關”：\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)可由\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\)線性表示出，且\(m>s\)，則\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)線性相關 （逆否亦成立）
   2. 兩個線性無關的向量組如果等價 \(\leftrightarrow\) 所含向量個數相等
   3. 向量個數多於\(n\)個的\(n\)維向量組線性相關

3. “原無關，添加后仍無關；原相關，去掉后仍相關”：一組線性無關的\(n\)維向量添加\(k\)個同序號分量后得到的\(n+k\)維向量組仍然線性無關 （后略）

（4）向量空間的基和維數

1. 基

定義：向量空間\(V\)中的一組向量\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\)若滿足 線性無關 且 \(V\)中任一向量可由此向量組線性表示出，則稱該組向量為\(V\)中的一個基（基底）。

定理：若\(\alpha_1,\alpha_2,....,\alpha_s\)和\(\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\)均為向量空間 \(W\)的基，那么必有\(s=t\)（等價）

2. 維數

定義：一向量空間\(V\not=\{O\}\)時，\(V\)的任一基所含向量個數稱為\(V\)的維數；當\(V=\{O\}\)時，\(V\)的維數為0

故，\(R^n\)的維數為\(n\)，即\(R^n\)為一個\(n\)維的向量空間

（5）極大無關組和向量組的秩

極大無關組：

\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)的部分向量組\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}\)滿足 \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}\)線性無關 且 向量組中的每一個\(\alpha_j\)都可以用\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}\)表示出，則稱\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}\)為極大無關組。

性質：

1. 向量組中任意兩個極大無關組所含向量個數相等
2. 秩：極大無關組所含的向量個數

\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}\)是\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)的一個極大無關組，則\(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},...,\alpha_{i_r}\)是向量空間\(Span(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)\)的一個基

（6）矩陣的秩

先空着

（7）線性方程組解的結構

1. 齊次線性方程

2. 非齊次線性方程

4. 方程組

5. 特征值

6. 二次型