向量組的線性相關性
向量組及其線性組合：
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n個有次序的數\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)所組成的數組稱為n維向量，這n個數稱為該向量的n個分量，第i個數\(a_i\)稱為第i個分量。
若干行同維數的列向量（或者行向量）所組成的集合叫做向量組。
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向量\(b\)能由向量組\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)線性表示的充要條件是矩陣\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等於矩陣\(B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)\)的秩。
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設有兩個向量組A和B，若B中的每一個元素都可以由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A和B能夠相互線性表示，則稱這兩個向量等價。
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向量組\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量組\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)線性表示（即\(AX=B\)有解）的充要條件是\(R(A)=R(A,B)\)。
推論：A與B等價的充要條件是\(R(A)=R(B)=R(A,B)\)
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設向量組B能由向量組A線性表示，則\(R(B)\leq R(A)\)。
向量組的線性相關性：
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給定向量組\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)，如果存在不全為零的數\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)使
\[k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 \]則稱A是線性相關的，否則稱為線性無關。
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向量組\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)線性相關的充要條件是\(R(A)<m\)。線性無關充要條件是\(R(A)=m\)。
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若向量組\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)線性相關，則向量組\(B：a_1, a_2,\cdots,a_m,a_{m+1}\)也線性相關。反之，若向量組B線性無關，則A也線性無關。
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m個n維向量組成的向量組，當維數n小於向量個數m時一定線性相關。
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設向量組\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)線性無關，而向量組\(B：a_1, a_2,\cdots,a_m,b\)線性相關，則向量b必能由A線性表示，且表示式唯一。
向量組的秩：
設有向量組A，如果在A中能選出r個向量\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，滿足：
- 向量組\(A_0：a_1,a_2,\cdots,a_r\)線性無關；
- 向量組A中任意r+1個向量（如果A中有r+1個向量的話）都線性相關，
那么稱\(A_0\)是向量組A中的一個最大線性無關向量組(簡稱最大無關組），最大無關組所含向量個數r稱為向量組A的秩，記為\(R_A\)。
推論：設向量組\(A_0：a_1,a_2,\cdots,a_r\)是向量組A的一個部分組，且滿足：
- \(A_0\)線性無關；
- A的任一向量都能由向量組\(A_0\)表示，
那么，\(A_0\)便是A的一個最大無關組。
- 矩陣的秩等於它的列向量組的秩，也等於它的行向量組的秩。
線性方程組的解的結構：
- 設\(m\times n\)矩陣\(A\)的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組\(Ax=0\)的解集\(S\)的秩\(R_s=n-r\)。
- 非齊次線性方程組的通解=該方程組的一個特解+對應齊次方程組的通解。
向量空間：
定義1：設V是n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對於向量的加法及乘法兩種運算封閉，那么稱集合V為向量空間。
一般地，由向量組\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)所生成的向量空間為：
定義2：設V是一個向量空間，如果有\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)線性相關且V中任一向量都可以由\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)線性表示，那么\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)就稱為向量空間V的一個基，r稱為V的維數，並稱V為r維向量空間。
定義3：如果向量空間V取定一個基\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，那么V中任意一個向量\(x\)可唯一地表示為
數組\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)稱為向量\(x\)在基\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)中的坐標。
在\(R^3\)中取定一個基\(a_1,a_2,a_3\)，再取一個新基\(b_1,b_2,b_3\)，設\(A=(a_1,a_2,a_3)\)，\(B=(b_1,b_2,b_3)\)。有：
其中系數矩陣\(P=A^{-1}B\)稱為舊基到新基的過渡矩陣。
設向量\(x\)在舊基和新基中的坐標分別為\(y_1,y_2,y_3\)和\(z_1,z_2,z_3\)，則有：
相似矩陣及二次型
正交向量組：
下面討論正交向量組的性質，所謂正交向量組，是指一組兩兩正交的非零向量。
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若n維向量構成的向量組中的向量兩兩正交且為非零向量，則該向量組線性無關。
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如果n維向量\(e_1,e_2,\cdots,e_r\)是向量空間V的一個基，如果\(e_1,e_2,\cdots,e_r\)兩兩正交且都是單位下向量，則稱其為V的一個標准正交基。
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設\(a_1,\cdots,a_r\)是向量空間V的一個基，要求V的一個標准正交基。也就是要找到一組兩兩相交的單位向量\(e_1,\cdots,e_r\)，使得\(e_1,\cdots,e_r\)與\(a_1,\cdots,a_r\)等價。這個問題稱為把基\(a_1,\cdots,a_r\)標准正交化。常用方法為施密特正交化，公式如下：
\[\begin{align}b_1 & = a_1\\b_2 & = a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\\& \cdots \cdots \cdots \cdots \\b_r & = a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_r]}{[b_2,b_2]}b_2-\cdots-\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1}\end{align} \]
正交矩陣：
- 如果n階矩陣\(A\)滿足\(A^TA=E\)（即\(A^{-1}=A^T\)），那么稱A為正交矩陣(正交陣)。
正交陣具有以下性質：
- \(A^{-1}=A^T\)，\(|A|=1或-1\)。
- 若A、B是正交矩陣，則AB也是正交矩陣。
- 若\(P\)是正交矩陣，則線性變換\(y=Px\)稱為正交變換。
\[||y||=\sqrt{y^Ty}=\sqrt{x^TP^TPx}=\sqrt{x^Tx}=||x|| \]可以看出：經過正交變換后線段長度不變。
方陣的特征值與特征向量：
定義：設A是n階矩陣，如果數\(\lambda\)和\(n\)維非零列向量\(x\)使關系式\(Ax=\lambda x\)成立，那么\(\lambda\)稱為A的特征值，\(x\)稱為A的特征向量。
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\(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\)
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\(\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|\)，由此可知：A可逆的充要條件是它的n個特征值全不為零
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如果\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)是方陣A的m個特征值，如果他們各不相等，則他們對應的特征向量構成的向量組線性無關。
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方陣的兩個不相等的特征值對應的特征向量\(a_1,\cdots,a_s\)和\(b_1,\cdots,b_t\)，則\(a_1,\cdots,a_s,b_1,\cdots,b_t\)線性無關。
相似矩陣：
定義：設A、B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P使得\(P^{-1}AP=B\)，則稱B是A的相似矩陣。
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若A與B相似，那么A與B特征多項式相同，從而A與B的特征識亦相同。
推論：若n階矩陣A與對角矩陣\(diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)相似，則\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)即是A的特征值。
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n階矩陣A可對角化的充要條件是A有n個線性無關的特征向量。
推論：如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A可對角化。但是可對角化不一定就有n個互不相等特征值。
對稱矩陣的對角化：
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設\(\lambda_1,\lambda_2\)是對稱矩陣A的兩個特征值，\(p_1,p_2\)是對應的特征向量，如果\(\lambda_1 \neq \lambda_2\)，則\(p_1,p_2\)正交。
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設A是n階對稱矩陣，則必有正交矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda\)，其中\(\Lambda\)是以A的特征值為對角元素的對角矩陣。
推論：設A為n階對稱矩陣，\(\lambda\)是A的特征方程的k重根，則矩陣\(A-\lambda E\)的秩\(R(A-\lambda E)=n-k\)，從而對應特征值\(\lambda\)恰有k個線性無關的特征向量。
二次型及其標准形：
二次型可用矩陣記作：
對於二次型我們主要討論的問題是：尋求可逆線性變換使二次型只含有平方項。
合同：設A和B是n階矩陣，若有可逆矩陣C，使得\(B=C^TAC\)，則矩陣A與B合同。顯然，如果A為對稱矩陣，則B也是對稱矩陣。又因為C可逆，所以R(A)=R(B)。
經過可逆變換\(x=Cy\)后，
也就是使\(C^TAC\)稱為對角矩陣。那么我們的問題就轉化成了：對於對稱矩陣A，尋求一個可逆矩陣C，使得\(C^TAC\)為對角矩陣。這個問題稱為對稱矩陣A的合同對角化。
- 任給二次型，總有正交變換\(x=Py\)，使\(f\)化為標准型\(f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\)，其中平方項系數是\(f\)的矩陣\(A=(a_{ij})\)的特征值。
正定二次型：
- 設二次型\(f=x^TAx\)的秩為r，且有兩個可逆變換\(x=Cy\)，\(x=Py\)使
\[f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ry_r^2\\f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2 \]則\(k_1,k_2,\cdots,k_r\)中正數的個數與\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)中的正數的個數相等。這個定理稱為慣性定理。二次型標准型中正系數的個數稱為二次型的正慣性指數，負系數個數稱為負慣性指數。
正定二次型：設二次型f對於任何不為零的x都有\(f(x)>0\)，則稱f為正定二次型，稱對稱矩陣A是正定的。反之為負。
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n元二次型f為正定的充要條件是：標准型n個系數全為正，規范型n個系數全為1，正慣性指數為n。
推論：對稱矩陣A為正定的充要條件：A的特征值全為正。
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對稱矩陣A為正定的充要條件：A的各階主子式都為正。
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對稱矩陣A為負定的充要條件：奇數階主子式為負，偶數階主子式為正。