向量组的线性相关性
向量组及其线性组合：
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n个有次序的数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数\(a_i\)称为第i个分量。
若干行同维数的列向量（或者行向量）所组成的集合叫做向量组。
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向量\(b\)能由向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性表示的充要条件是矩阵\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)的秩等于矩阵\(B=(a_1,a_2,\cdots,a_m,b)\)的秩。
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设有两个向量组A和B，若B中的每一个元素都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A和B能够相互线性表示，则称这两个向量等价。
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向量组\(B:b_1,b_2,\cdots,b_l\)能由向量组\(A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)\)线性表示（即\(AX=B\)有解）的充要条件是\(R(A)=R(A,B)\)。
推论：A与B等价的充要条件是\(R(A)=R(B)=R(A,B)\)
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设向量组B能由向量组A线性表示，则\(R(B)\leq R(A)\)。
向量组的线性相关性：
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给定向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)，如果存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)使
\[k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 \]则称A是线性相关的，否则称为线性无关。
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向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性相关的充要条件是\(R(A)<m\)。线性无关充要条件是\(R(A)=m\)。
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若向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性相关，则向量组\(B：a_1, a_2,\cdots,a_m,a_{m+1}\)也线性相关。反之，若向量组B线性无关，则A也线性无关。
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m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。
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设向量组\(A：a_1, a_2,\cdots,a_m\)线性无关，而向量组\(B：a_1, a_2,\cdots,a_m,b\)线性相关，则向量b必能由A线性表示，且表示式唯一。
向量组的秩：
设有向量组A，如果在A中能选出r个向量\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，满足：
- 向量组\(A_0：a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性无关；
- 向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，
那么称\(A_0\)是向量组A中的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组），最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记为\(R_A\)。
推论：设向量组\(A_0：a_1,a_2,\cdots,a_r\)是向量组A的一个部分组，且满足：
- \(A_0\)线性无关；
- A的任一向量都能由向量组\(A_0\)表示，
那么，\(A_0\)便是A的一个最大无关组。
- 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。
线性方程组的解的结构：
- 设\(m\times n\)矩阵\(A\)的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组\(Ax=0\)的解集\(S\)的秩\(R_s=n-r\)。
- 非齐次线性方程组的通解=该方程组的一个特解+对应齐次方程组的通解。
向量空间：
定义1：设V是n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘法两种运算封闭，那么称集合V为向量空间。
一般地，由向量组\(a_1,a_2,\cdots,a_m\)所生成的向量空间为：
定义2：设V是一个向量空间，如果有\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性相关且V中任一向量都可以由\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)线性表示，那么\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)就称为向量空间V的一个基，r称为V的维数，并称V为r维向量空间。
定义3：如果向量空间V取定一个基\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)，那么V中任意一个向量\(x\)可唯一地表示为
数组\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)称为向量\(x\)在基\(a_1,a_2,\cdots,a_r\)中的坐标。
在\(R^3\)中取定一个基\(a_1,a_2,a_3\)，再取一个新基\(b_1,b_2,b_3\)，设\(A=(a_1,a_2,a_3)\)，\(B=(b_1,b_2,b_3)\)。有：
其中系数矩阵\(P=A^{-1}B\)称为旧基到新基的过渡矩阵。
设向量\(x\)在旧基和新基中的坐标分别为\(y_1,y_2,y_3\)和\(z_1,z_2,z_3\)，则有：
相似矩阵及二次型
正交向量组：
下面讨论正交向量组的性质，所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量。
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若n维向量构成的向量组中的向量两两正交且为非零向量，则该向量组线性无关。
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如果n维向量\(e_1,e_2,\cdots,e_r\)是向量空间V的一个基，如果\(e_1,e_2,\cdots,e_r\)两两正交且都是单位下向量，则称其为V的一个标准正交基。
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设\(a_1,\cdots,a_r\)是向量空间V的一个基，要求V的一个标准正交基。也就是要找到一组两两相交的单位向量\(e_1,\cdots,e_r\)，使得\(e_1,\cdots,e_r\)与\(a_1,\cdots,a_r\)等价。这个问题称为把基\(a_1,\cdots,a_r\)标准正交化。常用方法为施密特正交化，公式如下：
\[\begin{align}b_1 & = a_1\\b_2 & = a_2-\frac{[b_1,a_2]}{[b_1,b_1]}b_1\\& \cdots \cdots \cdots \cdots \\b_r & = a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[b_2,a_r]}{[b_2,b_2]}b_2-\cdots-\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_{r-1},b_{r-1}]}b_{r-1}\end{align} \]
正交矩阵：
- 如果n阶矩阵\(A\)满足\(A^TA=E\)（即\(A^{-1}=A^T\)），那么称A为正交矩阵(正交阵)。
正交阵具有以下性质：
- \(A^{-1}=A^T\)，\(|A|=1或-1\)。
- 若A、B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。
- 若\(P\)是正交矩阵，则线性变换\(y=Px\)称为正交变换。
\[||y||=\sqrt{y^Ty}=\sqrt{x^TP^TPx}=\sqrt{x^Tx}=||x|| \]可以看出：经过正交变换后线段长度不变。
方阵的特征值与特征向量：
定义：设A是n阶矩阵，如果数\(\lambda\)和\(n\)维非零列向量\(x\)使关系式\(Ax=\lambda x\)成立，那么\(\lambda\)称为A的特征值，\(x\)称为A的特征向量。
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\(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}\)
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\(\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|\)，由此可知：A可逆的充要条件是它的n个特征值全不为零
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如果\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)是方阵A的m个特征值，如果他们各不相等，则他们对应的特征向量构成的向量组线性无关。
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方阵的两个不相等的特征值对应的特征向量\(a_1,\cdots,a_s\)和\(b_1,\cdots,b_t\)，则\(a_1,\cdots,a_s,b_1,\cdots,b_t\)线性无关。
相似矩阵：
定义：设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得\(P^{-1}AP=B\)，则称B是A的相似矩阵。
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若A与B相似，那么A与B特征多项式相同，从而A与B的特征识亦相同。
推论：若n阶矩阵A与对角矩阵\(diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)相似，则\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)即是A的特征值。
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n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A可对角化。但是可对角化不一定就有n个互不相等特征值。
对称矩阵的对角化：
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设\(\lambda_1,\lambda_2\)是对称矩阵A的两个特征值，\(p_1,p_2\)是对应的特征向量，如果\(\lambda_1 \neq \lambda_2\)，则\(p_1,p_2\)正交。
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设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵\(P\)，使得\(P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda\)，其中\(\Lambda\)是以A的特征值为对角元素的对角矩阵。
推论：设A为n阶对称矩阵，\(\lambda\)是A的特征方程的k重根，则矩阵\(A-\lambda E\)的秩\(R(A-\lambda E)=n-k\)，从而对应特征值\(\lambda\)恰有k个线性无关的特征向量。
二次型及其标准形：
二次型可用矩阵记作：
对于二次型我们主要讨论的问题是：寻求可逆线性变换使二次型只含有平方项。
合同：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使得\(B=C^TAC\)，则矩阵A与B合同。显然，如果A为对称矩阵，则B也是对称矩阵。又因为C可逆，所以R(A)=R(B)。
经过可逆变换\(x=Cy\)后，
也就是使\(C^TAC\)称为对角矩阵。那么我们的问题就转化成了：对于对称矩阵A，寻求一个可逆矩阵C，使得\(C^TAC\)为对角矩阵。这个问题称为对称矩阵A的合同对角化。
- 任给二次型，总有正交变换\(x=Py\)，使\(f\)化为标准型\(f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\)，其中平方项系数是\(f\)的矩阵\(A=(a_{ij})\)的特征值。
正定二次型：
- 设二次型\(f=x^TAx\)的秩为r，且有两个可逆变换\(x=Cy\)，\(x=Py\)使
\[f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ry_r^2\\f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2 \]则\(k_1,k_2,\cdots,k_r\)中正数的个数与\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r\)中的正数的个数相等。这个定理称为惯性定理。二次型标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数个数称为负惯性指数。
正定二次型：设二次型f对于任何不为零的x都有\(f(x)>0\)，则称f为正定二次型，称对称矩阵A是正定的。反之为负。
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n元二次型f为正定的充要条件是：标准型n个系数全为正，规范型n个系数全为1，正惯性指数为n。
推论：对称矩阵A为正定的充要条件：A的特征值全为正。
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对称矩阵A为正定的充要条件：A的各阶主子式都为正。
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对称矩阵A为负定的充要条件：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。