線性代數部分
Part I 行列式
行列式的定義與性質
\[\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ c_{21} & d_{22} \end{array} \right| = a_{11} b_{12} - c_{21} d_{22} \]
- 行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說，在\(n\) 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。
二階行列式定義
定義：二階行列式是以兩個行向量為領邊的平行四邊形的面積
\[\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ c_{21} & d_{22} \end{array} \right| \Rightarrow S=a_{11} b_{12}-c_{21} d_{22} \]
- \(S=l\cdot m \cdot sin(b-a)=l \cdot m \cdot (sinbcosa - cosbsina) = a_{11} b_{12}-c_{21} d_{22}\)
三階行列式定義
定義：三階行列式是以三個行向量為棱邊的平行六面體的體積
\[\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \_{n\times n} \]
n階行列式定義
n階行列式是由n維向量組成，其結果為n維圖形的體積
行列式重要觀點
\[D_n=|A_{n \times n}| \begin{cases} \neq 0 \Rightarrow 組成行列式的向量線性無關 \\ =0 \Rightarrow 組成行列式的向量線性相關 \end{cases} \]
行列式的7大性質
\[(習慣上a=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right) 列向量) ,\ 其中 a=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)=(1 2 3 4)^T, T稱為A的轉置 \]
- 行列互換，其值不變，\(|A|=|A^T|\)
- 行列式中某行（列）元素全為0，則行列式為0
- “倍乘”性質 行列式中某行（列）元素有公因子k(k!=0),則k可以提到行列式外面，即：
\[\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2}& \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| _{n\times n} = k \cdot\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right|_{n\times n} \]
- “互換”性質
行列式中某行（列）元素是兩個元素之和，則可拆成兩個行列式之和，即：
\[\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2}& \cdots & a_{in}+b_{in}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right| = \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right | + \left | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ b_{i1} & b_{i2}& \cdots & b_{in}\\ \vdots & \vdots &&\vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \]
- Note：等式從左到右是兩個 行列式相加的運算，如果兩個行列式的其他元素對應相等，之育雛一行（列）不同時，可以相加，相加時其他元素不變，不同元素的行（列）對應相加即可。
- “互換”性質
行列式中兩行（列）互換，行列式的值反號 - 行列式中兩行（列）元素相等或對應成比例，則行列式為0
- “倍加”性質
行列式中兩行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不變
行列式展開定理
- 余子式
在n階行列式中，去掉元素\(a_{ij}\)所在的第i行，第j列元素，由剩下的元素按原來的位置與順序組成的n-1階行列式稱為元素\(a_{ij}\)的余子式，記成\(M_{ij}\),即：
\[ M_{i,j}=\left | \begin{array}{cc} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots && \vdots& \vdots & &\vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}\\ \vdots && \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| \]
-
代數余子式
余子式\(M_{ij}\)乘\((-1)^{i+j}\)后稱為代數余子式，記為\(A_{ij}\), 即\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，顯然也有\(M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}\) -
行列式按某一行（列）展開的展開公式
行列式的值等於行列式的某行（列）元素分別乘其相應的代數余子式后再求和，即：
\[ |A|=\begin{cases} a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}(i=1,2,\cdots,n) \\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \cdots +a_{nj}A_{nj}=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}(j=1,2,\cdots,n) \end{cases} \]
幾個重要的行列式
1. 上下三角形行列式
\[ \left| \begin{array}{c} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{21} & \cdots & 0 \\ \vdots& \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| = \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| = \left| \begin{array}{c} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| = \prod_{i=1}^n a_{ii} \]
2. 副對角線行列式
\[ \left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n-1} &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2,n-1}&0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right| = \left| \begin{array}{c} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots &a_{2,n-1}&a_{2n} \\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n, n-1} & a_{nn} \end{array}\right| = \left|\begin{array}{c} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots &a_{2,n-1}&0 \\ \vdots && \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2} }a_{1n} a_{2,n-1} \cdots a_{n1} \]
3. 范德蒙行列式
\[ \left| \begin{array}{c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^2 & x_{2}^2 & \cdots & x_{n}^2 \\ \vdots& \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right| = \prod_{1\leq i \leq j \leq n}(x_j-x_i) \]
4. 行和或列和相等的行列式（行和是指每一行元素相加的和，列和同理）
\[ \left| \begin{array}{c} a & b & b & \cdots &b \\ b &a &b & \cdots &b \\ b & b & a & \cdots &b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{array} \right| = [a+(n-1)b] (a-b)^{n-1} \]
Part II 矩陣
矩陣的定義
由m*n個數，排成m行n列的矩陣表格, 稱為一個\(m \times n\)的矩陣，簡記為\(A\)或\((a \_ {ij})\_ {m\times n}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\), 當\(m=n\)時，稱為n階方陣。
\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ \cdot & \cdot & & \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]
兩個矩陣\(A=(a\_{ij})\_{m\times n}, B=(b\_{ij})\_{s\times k}\),若\(m=s,n=k\),則稱\(A\)與\(B\)為同型矩陣
矩陣的基本運算
- 相等：
\(A=(a\_{ij})\_{m\times n}=B=(b\_{ij})\_{s\times k}\Leftrightarrow m=s,n=k,且a\_{ij}=b\_{ij}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\), 即\(A，B\)是同型矩陣，且對應元素相等 - 加法：兩個矩陣是同型矩陣時可以相加，即：
\(C=A+B=(a\_{ij})\_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}=(c\_{ij})\_{m\times n},其中，c\_{ij}=a\_{ij}+b\_{ij}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\), 即對應元素相加 - 數乘矩陣：設K是一個數，A是一個m*n矩陣，數K和A的乘積稱為數乘矩陣，即A的每個元素都乘以K
\(kA=Ak=k\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix}=(ka_{ij})_{m\times n}\) - 矩陣的乘法：
設\(A\)是\(m\times s\)矩陣,\(B\)是\(s\times n\)矩陣(矩陣\(A\)的列數必須與矩陣B的行數相等),則\(AB\)可乘，乘積\(AB\)是\(m\times n\)矩陣，記\(C=AB=(c_{ij})\_{m\times n}\)。\(C\)的第i行第j列元素\(c\_{ij}\)是\(A\)的第i行的s個元素與B的第j列的s個對應元素兩兩相乘之和，即：\(c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{is}b_{sj}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\)
- 矩陣乘法滿足下列運算規律：
-
結合律：
\((A_{m\times s}B_{s \times r})C_{r\times n}=A_{m\times s}(B_{s \times r}C_{r\times n})\) -
分配律：
- \(A_{m\times s}(B_{s \times r}+C_{s\times n})=A_{m\times s}B_{s \times r}+A_{m\times s}C_{s\times n}\)
- \((A_{m\times s}+B_{m \times s})+C_{s\times n}=A_{m\times s}C_{s \times n}+B_{m\times s}C_{s\times n}\)
-
數乘與矩陣乘積的結合律：
\((kA_{m\times s})B_{s \times n}=A_{m\times s}(kB_{s \times n})=k(A_{m\times s}B_{s\times n})\)Note: 矩陣的乘法一般情況下不滿足交換律，即\(AB \neq BA\)
初等變換
- 一個非零常數乘矩陣的某一行(列)
- 互換矩陣中某兩行(列)的位置
- 將某行(列)的k背加到另一行(列)
以上三種變換稱為矩陣的三種初等行(列)變換，且分別稱為倍乘、互換、倍加初等行(列)變換
可逆陣（方）定義
對於\(A_{n\times n}、B_{n \times n}\)，若\(AB=E\)，則\(A，B\)可逆，且\(BA=E，A^{-1}=B，B^{-1}=A，AB=BA\)
可逆陣（方）性質-5個
- \((A^{-1})^{-1}=A\)
- \(k\neq 0, (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)，即A的轉置的逆等於A的逆的轉置
- \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)，即A的逆的行列式等於A的行列式分之一
伴隨陣定義
定義
\[ A^*=\left| \begin{array}{c} A_{11} & A_{21} & \cdots &A_{n1} \\ A_{11} & A_{21} &\cdots &A_{n1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} &\cdots &A_{nn} \end{array}\right| \]
\(A_{ij}\)為\(A\)的\(a_{ij}\)的代數余子式，任何n階矩陣必有伴隨矩陣
伴隨陣計算
計算
\[AA^{\ *}=\left(\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} |A| & a \\ 0 & |A| \end{array}\right) = |A|E \]
計算\(AA^{\ *} =A^{\ *}A=|A|E\), 即A乘A的伴隨 = A的伴隨乘A = A的行列式乘以單位矩陣
伴隨陣常用結論及其推論（|A|!=0 <=> |A| 可逆）- 6個
- \(|A^{\ *}|=|A|^{n-1}\)
- \(k\neq 0, (kA)^{\ *}=k^{n-1}|A|A^{-1}=k^{n-1}A^{\ *}\)
- \((A^T)^{\ *}=(A^{\ *})^T\)
- \((A^{-1})^{\ *}=(A^{\ *})^{-1}\)
- \((A^\ *)^{\ *}=|A|^{n-2}\cdot A\)
- \((AB)^{\ *}=B^*A^{\ *} \ ,\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\ ,\ (AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)
初等陣定義
單位矩陣通過一次初等變換得到的矩陣，叫初等陣
\[E_3=\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{cases} 1.\left(\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)，互換初等陣 \\ \\ 2.\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)，倍加初等陣 \\ \\ 3. \left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right)，倍乘初等陣 \end{cases} \]
初等陣性質
- \(E_{i(k)}^{-1}=E_{i(\frac{1}{k})}\ ,\ E_{ij}^{-1}=E_{ij} \ ,\ E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)\)
- 左行右列定理：初等陣P左乘（右乘）A得PA（AP），就是對A做了一次與P相同的初等行（列）變換
求A的逆-伴隨矩陣法
\(A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}\) (多用於2、3階)
- 求\(|A|\)
- 求\(A^{*}\)
- 寫\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}\)
求A的逆-初等變換法
任何可逆矩陣A一定可以通過若干次初等行變換，化成同階單位陣E，\(即 P_n\cdots P_2P_1A=E\ ,\ P_n\cdots P_2P_1E=A^{-1}\) \(\Rightarrow (A|E) \Rightarrow (E|A^{-1})\)
矩陣方程定義
\(AX=B,\ XA=BA,\ XB=C\)
基礎命題：
- 若A可逆 \(\Rightarrow X=A^{-1}B\)
- 若A可逆 \(\Rightarrow X=BA^{-1}\)
- A、B可逆 \(\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}\)