一.概述
在上一篇總結中,主要記錄了矩陣用於線性方程組消元的情況,並且提到:方程組若有唯一解,那么方程組對應系數矩陣的秩(有效的方程個數)一定等於未知數的個數;當方程組中方程的個數多於未知數的個數時,多出來的方程一定可以用其他方程線性表示,因此這些多出來的方程是無效的(當方程組的秩等於未知數個數時,再增加線性方程並不會增加方程組的秩);當方程組的有效方程的個數小於未知數個數時(矩陣的秩小於未知數個數),方程組有無數解.
根據上面的總結我們可以知道,方程組的未知數個數一定大於等於系數矩陣的秩.那么我們能不能快速判斷線性方程組是否是唯一解(即方程組的秩等於未知數的個數或稱為滿秩)呢?這就是行列式的一個很重要的作用:判斷方陣是否滿秩.
二.行列式運算
1.行列式運算
行列式的運算由線性方程組的求解結果推導得到,因此這里也從低階行列式進行推導.
2.二階行列式運算
下面是一個有唯一解的一般的二元線性方程組,可以得到它的解:
觀察這個解,可以看到分母是完全一樣的,分子分別是將分母中相應未知數的系數替換為了等號右邊的常量得到.顯然,如果分母為0的話這個方程組應該是無解或有無數解,分母不為0的話這個方程組有唯一解,而分母為0恰好對應着系數成比例的情況(二元線性方程組對應的系數矩陣不滿秩).因此我們可以將這個分母運算提煉出來,用以下方法規定它的運算:
這就是二階行列式運算,可以看到行列式中數字排列和系數矩陣中數字排列相同.
3.三階行列式運算
二階行列式的運算可以同樣推廣到三階,只需要解三元一次方程組即可.這里直接給出定義:
可以看到,三階行列式的展開項一共有六項,每一項都是由完全不同行列的三個數字想乘得到的.如果將這一項的行數按照順序排列,它們的列數排列的逆序數的為奇數時這一項為負,為偶數時這一項為正,因此每一項的符號都取定為-1的列數排列逆序數次方.而且我們可以根據這個規律推廣,三階行列式一共有3的全排列項(A33=6),因為行數按照順序排列后,列數可以任意排列,總共有3的全排列種排列方式,這就是項數.
4.n階行列式運算
對於n階行列式的運算,和三階行列式的情況相同,有n的全排列項,每一項的符號為-1的列數排列逆序數次方.
5.行列式的各種性質
對於n階行列式的性質,觀察行列式的展開式就可以很容易理解,如交換兩行相當於交換展開式中每一項的兩個因子,但是會導致列數的逆序數奇偶性發生變化,因此符號取反.需要注意的是,行列式的本質是一個數字,它和矩陣有着根本性的不同.
6.按照一行展開
按照一行展開應該也很容易理解.觀察三階行列式的展開,如果按照第一行的三個數字進行提公因式變換,就可以得到按行展開的表達式:
按行展開后的行列式等於這一行的每個數字乘上它的代數余子式.
7.拉普拉斯定理
同樣地,我們也可以對展開式進行一些更復雜的提公因式運算,這就構成了拉普拉斯定理.可以自己嘗試證明.當然,教材中也有拉普拉斯定理更為嚴謹簡潔的證明.
三.行列式計算的意義
目前來說,行列式計算最重要的意義就是計算上一篇總結中提到的系數矩陣是否滿秩.當行列式的值為0時,系數矩陣不滿秩;當行列式的值不為0時,系數矩陣滿秩.