設 \(A\) 為 \(n\) 階實對稱矩陣，則 \(A\) 可以分解為 \(A=Q \Lambda Q^T\)，其中
\(Q=[q_1,q_2,...,q_n]\) ， \(q_i\)為 \(A\) 的特征向量且 \(QQ^T=I\) ，
\(\Lambda=diag[\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n]\) ，\(\lambda_i\)為 \(A\) 的特征值。
令 \(P=Q^T\)，\(y=Px\) ，
則對於二次型 \(x^{T}Ax\) ，有 \(x^{T}Ax=x^{T} Q \Lambda Q^T x = x^{T} P^{T} \Lambda P x =y^T \Lambda y\) 。
可以看到，通過線性變換 \(y=Px\)，二次型被轉化成了標准型（不含交叉項的二次型）。
關於該線性變換，有三點值得說明。
\(1.\)
由於線性變換 \(y=Px\) 是正交變換，且 \(x^{T}Ax=y^T \Lambda y\)，因此原二次型經過旋轉和反射就可以得到標准型。
因此對任何一個二次型，都存在對應的標准型，使得二者的“形狀”完全相同。
\(2.\)
在變換 \(y=Px\) 中，若 \(x\) 為 \(A\) 的單位特征向量 \(q_i\)，則 \(y=Px=Q^{T}q_i= \begin{bmatrix} q_1^T \\ q_2^T \\ \vdots \\ q_n^T \\ \end{bmatrix} q_i=e_i \)
可見 \(A\) 的單位特征向量都被變換成了自然基向量。
\(3.\)
線性變換 \(y=Px\) 也可以看作是坐標變換。
設自然坐標系為 C0，以 \(A\) 的單位特征向量為基向量的坐標系為 C1，對任意 \(n\) 維向量，令其在 C0 下的坐標為 \(x\) ，在 C1 下的坐標為 \(y\)，則有 \(Ix=Qy\) 。
由於 \(Q^{-1}=Q^{T}=P\)，因此 \(y=Px\) ，可見變換 \(y=Px\) 表示了一個從 C0 到 C1 的坐標變換，且在坐標系 C1 下，二次型是不含交叉項的，如下圖所示：
