概要
主要介紹左右特征向量以及重要的性質。
左右特征向量
下面給一個簡單結論，
**證明**：不妨假設 $x$ 是一個單位向量，計算給出 $\mu=\mu x^*x=(x^*A)x=x^*Ax=x^*(Ax)=x^*(\lambda x)=\lambda x^* x=\lambda$.
每一種類型的特征向量都傳遞出有關矩陣的不同信息，而了解這兩類類型的特征向量是怎樣相互影響的，可能是非常有用的，接下來給一個重要的定理，
證明：(a)計算如下，
\begin{align*}
\mu (y^*x)=(\mu y^*)x=(y^*A)x=y^*(Ax)=y^*(\lambda x)=\lambda (y^* x)
\end{align*}
故而 \((\lambda-\mu)(y^*x)=0\), 又 \(\lambda\neq \mu\), 故 \(y^*x=0\).
(b) 假設 \(Ax=\lambda x\) 以及 \(y^*A=\mu y^*\), 且 \(y^*x\neq 0\). 我們知道等比例縮放特征向量仍是特征向量，所以可以用 \(y/(x^*y)\) 代替 \(y\), 這時不妨設 \(y^*x=1\). 令 \(S_1\in M_{n,n-1}\) 的列是 \(y\) 的 正交補的任意一組基（所以 \(y^*S_1=0\)), 並考慮 \(S=\begin{bmatrix} x&S_1 \end{bmatrix}\in M_n\). 設 \(z=\begin{bmatrix} z_1& \zeta^T \end{bmatrix}^T\) （其中\(z_1\) 是一個純量， \(\zeta \in \mathbb{C}^{n-1}\)），並假設 \(Sz=0\). 那么
\[
0=y^*Sz=y^*(z_1x+S_1\zeta)=z_1(y^*x)+(y^*S_1)\zeta=z_1
\]
所以 \(z_1=0\) 且 \(0=Sz=S_1\zeta\), 這蘊含 \(\zeta=0\), 這是因為 \(S_1\) 是列滿秩的。所以可以斷定 \(S\) 是非奇異的。用 \(\eta \in \mathbb{C}^n\) 分划 \(S^{-*}=\begin{bmatrix} \eta &Z_1 \end{bmatrix}\), 並計算
\[
I_n=S^{-1}S=\begin{bmatrix} \eta^* \\ Z_1^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x&S_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \eta^* x& \eta^* S_1 \\Z_1^* x & Z_1^* S_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&I_{n-1} \end{bmatrix}
\]
其中包含四個恆等式。恆等式 \(\eta^*S_1=0\) 蘊含 \(\eta\) 與 \(y\) 的正交補正交，所以對某個純量 \(\alpha\) 有 \(\eta=\alpha y\). 恆等式 \(\eta^* x=1\) 告訴我們 \(\eta^*x=(\alpha y)^*x=\bar{\alpha}(y^*x)=\bar{\alpha}=1\), 所以 \(\eta=y\). 利用恆等式 \(\eta^*S_1=y^*S_1=0\) 與 \(Z_1^*x=0\), 以及 \(x\) 與 \(y\) 的特征向量的性質，計算相似矩陣
\begin{align*}
S^{-1}AS &=\begin{bmatrix} y^* \\ Z_1^* \end{bmatrix}A\begin{bmatrix} x&S_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y^*Ax & y^*AS_1 \\ Z_1^*Ax & Z_1^*AS_1 \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} (\lambda y^*)x & (\lambda y^*)S_1 \\ Z_1^*(\lambda x) & Z_1^*AS_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda (y^*x) & \lambda (y^*S_1) \\ \lambda (Z_1^*x) & Z_1^*AS_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\0 & Z_1^*AS_1 \end{bmatrix}
\end{align*}
這就驗證了 (\(*\)) 式。
反過來，假設存在一個非奇異的 \(S\), 使得 \(A=S(\begin{bmatrix} \lambda \end{bmatrix}\oplus B)S^{-1}\). 設 \(x\) 是 \(S\) 的第一列， \(y\) 是 \(S^{-*}\) 的第一列，且分划 \(S=\begin{bmatrix} x&S_1 \end{bmatrix}\) 以及 \(S^{-*}=\begin{bmatrix} y&Z_1 \end{bmatrix}\), 則恆等式 \(S^{-1}S=I\) 的位於 \((1,1)\) 處的元素告訴我們 \(y^*x=1\); 恆等式
\[
\begin{bmatrix} Ax&AS_1 \end{bmatrix}=AS=S(\begin{bmatrix} \lambda \end{bmatrix} \oplus B)=\begin{bmatrix} \lambda x&S_1 B \end{bmatrix}
\]
的第一列告訴我們 \(Ax=\lambda x\);而恆等式
\[
\begin{bmatrix} y^*A \\ Z_1^*A \end{bmatrix}=S^{-1}A=(\begin{bmatrix} \lambda \end{bmatrix} \oplus B)S^{-1}=\begin{bmatrix} \lambda y^* \\ B Z_1^* \end{bmatrix}
\]
的第一行告訴我們 \(y^*A=\lambda y^*\).
定理 \(1.1\)(a) 結論是雙正交原理。相似不改變矩陣的特征值，它的特征向量在相似之下以一種簡單的方式進行變換。
證明：如果 \(Bx=\lambda x\), 那么 \(S^{-1}ASx=\lambda x\), 即 \(A(Sx)=\lambda (Sx)\). 由於 \(S\) 是非奇異的，且 \(x\neq 0, Sx\neq 0\), 故而 \(Sx\) 是 \(A\) 的一個特征向量。如果 \(y^*B=\lambda y^*\), 那么 \(y^*S^{-1}AS=\lambda y^*\), 對 \((y^*S^{-1})A=\lambda (y^*S^{-1})\) 括號內的部分取兩次共軛轉置，即得 \((S^{-*}y)^*A=\lambda (S^{-*}y)^*\).
最后要給出一個定理，但是還得利用一個引理，
證明：我們有 \(\mathrm{rank}(\lambda I-A)=n-1\), 故而 \(\mathrm{rank}\,\mathrm{adj}(\lambda I-A)=1\), 所以存在非零的 \(\xi,\eta \in \mathbb{C}^n\) 使得 \(\mathrm{adj}(\lambda I-A)=\xi \eta^*\), 但是 \((\lambda I-A)(\mathrm{adj}(\lambda I-A))=\mathrm{det}(\lambda I-A)I=0\), 所以 \((\lambda I-A)\xi\eta^*=0\), 且 \((\lambda I-A)\xi=0\), 它蘊含着對某個非零的純量 \(\alpha\) 有 \(\xi=\alpha x\). 按照類似的方法利用恆等式 \((\mathrm{adj}(\lambda I-A))(\lambda I-A)=0\), 我們可得出結論：對某個非零的純量 \(\beta\) 有 \(\eta=\beta y\). 於是有 \(\mathrm{adj}(\lambda I-A)=\alpha \beta xy^*\).
**證明**：對於 (a) 與 (b) 這兩種情形，$\lambda$ 的幾何重數都為 $1$. 上一個引理告訴我們，存在一個非零的 $\gamma\in\mathbb{C}$, 使得 $\mathrm{adj}(\lambda I-A)=\gamma xy^*$. 這樣就有 $p_A(\lambda)=0$ 以及 $p'_A(\lambda)=\mathrm{tr} \, \mathrm{adj}(\lambda I-A)=\gamma y^*x$. 在 (a) 中我們設了代數重數為 $1$, 所以 $p'_A(\lambda) \neq 0$, 從而 $y^*x\neq 0$. 在 (b) 中我們設了 $y^*x\neq 0$, 所以 $p'_A(\lambda) \neq 0$, 故而其代數重數為 $1$.
讀完應該知道點什么
設給定 \(A \in M_n\), 非零向量 \(x,y \in \mathbb{C}^n\) 以及純量 \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\). 假設 \(Ax=\lambda x\) 以及 \(y^*A=\mu y^*\).
- 如果 \(x=y\), 那么 \(\lambda=\mu\)
- 如果 \(\lambda \neq \mu\), 那么 \(y^*x=0\)（雙正交原理）
- 如果 \(\lambda = \mu\) 且 \(\lambda\) 的代數重數為 \(1\), 那么 \(y^*x\neq 0\)
- 如果 \(\lambda = \mu\) 且 \(\lambda\) 的幾何重數為 \(1\), 那么它的代數重數為 \(1\) 當且僅當 \(y^*x\neq 0\)