線性函數也是線性代數的重點知識，尤其是雙線性函數，本質上定義了向量之間的二元運算。然后在非退化線性替換下，引出了矩陣的合同關系\(B=P'AP\)（記作\(A\cong B\)），類似於線性變換的標准型討論，這里同樣需要討論合同關系下的等價類和標准型。對稱雙線性函數是最常見的向量運算，它的度量矩陣是對稱矩陣，利用初等變換和歸納法，不難證明任何數域上的對稱矩陣都合同於一個對角矩陣。這個結論為對稱矩陣的討論提供了非常便利的方法，而對於實對稱矩陣正交分解\(A=T^{-1}DT\)，更是完美地橫跨相似變換和等價變換兩個完全不同的領域，這使得實對稱矩陣在線性代數中有着重要的位置。
1. 二次型
1.1 慣性指數
對角線上依次是\(1,-1,0\)的合同矩陣稱為原矩陣的標准型，由初等變換易知復對稱矩陣\(A\)的標准型是\(\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}\)，其中\(r\)是\(A\)的秩。當\(A\)為實對稱矩陣時，它的標准型則為\(\text{diag}\{I_r,-I_s,0\}\)，其中\(r,s\)分別稱為正（負）慣性指數。由於慣性指數的唯一性，再結合對稱矩陣的正交變換\(T'DT\)，可知正負慣性指數分別是\(A\)正負特征值的個數。這還說明了，相似變換不改變矩陣的慣性指數。
由於慣性指數是合同對稱矩陣的“完全不變量”，那么對對稱雙線性函數的討論完全可以脫離精確的線性函數范疇。尤其是其對稱性，使得更簡單常用的二次型便可以完全代表原矩陣，而正（負）定矩陣的概念更是根據二次型的特點命名的。現在站在二次型的角度，看看慣性指數還有什么特殊的意義。對二次型\(f(x_1,\cdots,x_n)\)，假設某個線性替換（不一定非退化）可以把它變成形式（1）左，下面證明\(p\geqslant r,q\geqslant s\)。
\[f(x_1,\cdots,x_n)=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2\;\Rightarrow\;p\geqslant r,q\geqslant s\tag{1}\]
另外設\(f(x_1,\cdots,x_n)\)標准型是\(y_1^2+\cdots+y_r^2-y_{r+1}^2-\cdots-y_{r+s}^2\)，以及\(HX=Z,GX=Y\)，則有\(HG^{-1}Y=Z\)。如果\(p<r\)，取\(Y=(y_1,\cdots,y_r,0,\cdots,0)'\)，並令\(Z\)的前\(p\)個元素為\(0\)，則由\(p<r\)可知這樣的\(Y\ne 0\)是存在的。但這時\(f(Y)>0\)而\(f(Z)\leqslant 0\)，矛盾，這就證明了\(p\geqslant r\)，同樣可以證明\(q\geqslant s\)。這個結論說明慣性指數是所有“標准型”中\(\pm 1\)個數最少的。
要知道實對稱矩陣的慣性指數，一般要計算所有特征值，計算復雜度較高。參考下面的2.1段，可知順序主子式不為\(0\)的矩陣，可以有分解\(A=R'DR\)，其中\(R'\)為對角全為\(1\)的上三角矩陣，\(D\)為對角非零的對角矩陣。且其中\(A\)的順序主子式和\(D\)的順序主子式完全相同，而\(D\)的慣性指數顯然可以由順序主子式完全確定，最終就是說\(A\)的慣性指數它的順序主子式完全確定。完整地講，如果\(A\)的順序主子式\(A_k\)都非零，則序列\(1,A_1,A_2,\cdots,A_n\)的變號次數就是\(A\)的負慣性指數，不變號次數就是正慣性指數。
1.2 （半）正定矩陣
正負慣性指數中有一項為\(0\)時，二次型在所有非零向量上表現出明顯的符號特點（恆正、恆負、非正、非負），它們分別稱為正定、負定、半負定、半正定，對應的矩陣也有相應的名稱。尤其正定矩陣的恆正性，使得他很適合用來作為向量的度量，來定義向量的范數和距離。另外，對這類矩陣（二次型）的討論有着非常實際的意義，由於對稱性，這里僅討論正定矩陣和半正定矩陣。
注意到正定矩陣合同於單位矩陣\(I\)，也就是說正定矩陣存在分解\(A=C'C\)，其中\(C\)可逆。也可以換個說法，存在可逆矩陣\(C\)可把正定\(A\)對角化為\(C'AC=I\)。對另外任意的實對稱矩陣\(B\)，\(C'BC\)仍然是實對稱矩陣，故存在實正交矩陣\(T\)，使得\(T'C'BCT=D=\text{diag}\{\mu_i\}\)。
設\(P=CT\)，則有結論：當\(A\)為正定矩陣，\(B\)為實對稱矩陣時，存在實可逆矩陣\(P\)使得\(P'AP=I,P'BP=D\)。這時容易有式（2）成立，當\(B\)是半正定矩陣時有\(\mu_i\geqslant 0\)，從而得到\(|A+B|\geqslant|A|+|B|\)，其中等號成立的充要條件是\(B=0\)。
\[|A+B|=|P^{-1}|^2\prod_{i=1}^n(1+\mu_i);\;\;|A|+|B|=|P^{-1}|^2(1+\prod_{i=1}^n\mu_i)\tag{2}\]
現在考察正定矩陣\(A=\begin{bmatrix}B&C\\C'&D\end{bmatrix}\)，用初等變換可將它對角化為\(\begin{bmatrix}B&0\\0&D-C'B^{-1}C\end{bmatrix}\)，從而\(B,D,D-C'B^{-1}C\)都是正定矩陣。另一方面有式（3）左成立，再由剛才的不等式可有式（3）右成立，從而對正定矩陣\(A\)，總有估計式\(|A|\leqslant\prod a_{ii}\)成立。
\[\begin{vmatrix}B&C\\C'&D\end{vmatrix}=|B||D-C'B^{-1}C|\leqslant|B||D|\tag{3}\]
1.3 判定條件
正定（半正定）矩陣的典型特點就是，它的合同對角矩陣的對角元為正數（非負），故它的行列式為也為正數（非負）。再從二次型的角度考察正定（半正定）矩陣\(A\)，它使得任意\(X'AX\)為正數（非負）。取\(X\)為某\(k\)個維度的向量（其它\(n-k\)個維度為\(0\)），\(X'AX\)仍然是正定（半正定）的，其對應的行列式是\(A\)的一個主子式，這就證明了正定（半正定）矩陣的所有主子式為正數（非負）。
反之，對所有主子式為正數（非負）的實對稱矩陣\(A\)，如果它不是正定（半正定）的，則存在特征值\(\lambda<0\)。現在來考察特征多項式\(f(\lambda)\)，前面知道它的每一項是\((-1)^k\lambda^{n-k}B_k\)，其中\(B_k\)是\(A\)的所有\(k\)階主子式之和。由於\(B_k\)不可能全部為\(0\)（除非全\(0\)矩陣，而它是半正定的），故有\(f(\lambda)\ne 0\)，這與\(\lambda\)是特征值矛盾，從而證明了逆命題也成立。
以上證明了正定（半正定）矩陣的充要條件是所有主子式為正數（非負）。2.1節中還有結論：順序主子式皆非零的實對稱矩陣，它的慣性指數由順序主子式完全確定，從而對於正定矩陣而言，它的充要條件可以弱化為順序主子式皆為正數。但要注意順序主子式皆非負，並不是半正定的充分條件，最簡單的反例就是\(\begin{bmatrix}0&0\\0&-1\end{bmatrix}\)。
除了以上正定的充要條件，有時也可以綜合正定矩陣的性質來判定。正定矩陣的一個典型特點是它合同於單位矩陣\(I\)，由此它可以分解為\(P'P\)，其中\(P\)可逆。設\(A,B\)皆為正定矩陣，來考察\(AB\)的正定的充要條件，首先必須得有\(AB\)對稱，由此可以推出\(AB=BA\)。反之如果\(AB\)對稱，設\(A=CC'\)，其中\(C\)可逆，則\(C^{-1}ABC=C'BC\)。由\(B\)正定知\(C'BC\)正定，所以它的特征值皆為正，從而\(AB\)的特征值也為正，證得\(AB\)正定。
再看一個復雜一點的情況，假設\(A,B\)正定，考察矩陣\(C=\{a_{ij}b_{ij}\}\)。設\(B\)有正交分解\(T'DT\)，其中\(D=\text{diag}\{\mu_i\}\)，\(\mu_i>0\)是\(B\)的特征向量。這樣可有\(b_{ij}=\sum\limits_k\mu_kt_{ki}t_{k_j}\)，這樣可有\(C=\sum\limits_k\mu_kC_k\)，其中\(C_k=[t_{ki}t_{kj}a_{ij}]\)。對任意列向量\(X\)，\(X’C_kX=\delta'_kA\delta_k\)，其中\(\delta_k=[t_{k1}x_1,\cdots,t_{kn}x_n]'\)。易知\(\delta_k\)不全為\(0\)，從而\(X'CX=\sum\limits_k\mu_kX'C_kX>0\)，這就證明了\(C\)也是正定矩陣。
1.4 實可逆矩陣
前面提到，任何正定矩陣都可以分解為\(C'C\)，其中\(C\)是實可逆矩陣。反之，對任意實矩陣\(C\)（不一定是方陣），來考察對稱矩陣\(C'C\)。設有\(C'C\alpha=\lambda\alpha\)，兩邊左乘\(\alpha'\)得到\(|C\alpha|^2=\lambda|\alpha|^2\)，從而可以得到\(\lambda\geqslant 0\)。即\(C'C\)是半正定矩陣，尤其當\(C'C\)可逆時，它還是正定矩陣。
另外，如果令方陣\(C\)有特征值\(\mu\)和特征向量\(\alpha\)，則\(\alpha'C'C\alpha=\mu^2|\alpha|^2\)。再由上一篇式（18）可得\(\alpha'C'C\alpha\in[\lambda_1,\lambda_n]|\alpha|^2\)，其中\(\lambda_1,\lambda_n\)是\(C'C\)的最小（大）特征值，從而\(\mu^2\in[\lambda_1,\lambda_n]\)。由於\(C'C\)的特征值非負，則可以得到估算式\(\sqrt{\lambda_1}\leqslant|\mu|\leqslant\sqrt{\lambda_n}\)。當\(C\)可逆時，由於\(A=C'C\)為正定矩陣，由1.2節的估計式可得到\(|C|^2=|C'C|\leqslant \prod\limits_i a_{ii}\)，其中\(a_{ii}=\sum\limits_j c_{ji}^2\)，這就得到式（4）的Hadamard不等式。
\[|C|\ne 0\;\Rightarrow\;|C|^2\leqslant \prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^n c_{ij}^2\tag{4}\]
2. 矩陣的分解
矩陣的分解是矩陣計算的主要課題，它的任務是把一般性的矩陣分解為一些特殊矩陣（對角矩陣、三角矩陣、正交矩陣等）的乘積、或特殊形式的乘積（相似、合同等）。這不僅能幫助分析矩陣的本質，分解得到的特殊矩陣還能便於計算、分析復雜的表達式。這里再舉一些一般性的例子，在“矩陣計算”（也叫“矩陣分析”）這門課中，我們會見到更廣泛的應用。
2.1 初等矩陣分解
先來看一個基礎的，我們知道任何可逆矩陣都可以通過初等變換變成\(I\)，這就是說可以矩陣都可以分解為一些初等矩陣的乘積（\(P(j,i(k)),P(i(k)),P(i,j)\)）。另外由式（5）可知，\(P(i,j)\)可以由其它兩個初等矩陣表示，從而可逆矩陣都可以表示為兩類初等矩陣之積（\(P(j,i(k)),P(i(k))\)）。其實不難發現，只用\(P(j,i(k))\)就可以把\(A\)對角化，且除了最后一個\(a'_{nn}\)外都可以化為\(1\)，也就是說\(P(i(k))\)只要在最后出現一下就可以了。特別地，當\(|A|=1\)時，連最后這個\(P(n(1/|A|))\)都不需要，\(A\)可以拆分為若干\(P(j,i(k))\)之積。
\[P(i,j)=P(i,j(-1))P(j,i(1))P(i,j(-1))P(i(-1))\tag{5}\]
繼續加強以上條件，先假設\(a_{11}\ne 0\)，那么可以只用下三角的\(P(j,i(k))\)，將\(A\)的第一列的后\(n-1\)個數變成\(0\)。如果變換后的\(a'_{22}\ne 0\)，這個過程還可以繼續下去，直到把\(A\)變成一個上三角矩陣\(U\)。注意到這樣的變換並不改變順序主子式的值，從而加入的一系列條件等價於\(A\)的所有順序主子式都不為\(0\)。而根據所有\(P(j,i(k))\)變換特點，可知它們組合后的矩陣\(B\)是一個下三角矩陣，且對角線皆為\(1\)。
結論可以總結為：如果\(A\)的所有順序主子式都不為\(0\)，則存在下三角矩陣\(B\)和上三角矩陣\(U\)，使得\(BA=U\)。從而矩陣\(A\)有分解\(A=LU\)，其中\(L=B^{-1}\)為對角全為\(1\)的下三角矩陣（單位下三角矩陣），\(U\)是可逆上三角矩陣。滿足條件的矩陣\(A\)顯然都存在LU分解，並且用反證法還可知這樣的分解是唯一的。設有兩個分解\(L_1U_1=L_2U_2\)，則有\(L_2^{-1}L_1=U_2U_1^{-1}\)。等式左邊是單位下三角矩陣，右邊為上三角矩陣，從而等式為單位矩陣，進而有\(L_1=L_2,U_1=U_2\)，故LU分解唯一。
當以上結論作用於有同樣性質（順序主子式非零）的對稱矩陣\(A\)時，同樣可得到唯一分解\(A=LDL'\)，其中\(L\)同上、\(D\)為可逆對角矩陣。這個結論在第一段中已經被使用過兩次，請再回頭品味它的應用。
關於初等變換，當然還有一個淺顯的結論值得一提。對於一般的矩陣\(A_{m\times n}\)，通過初等變換可以把它變成\(\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}\)的形式。這就是說\(A_{m\times n}\)可以分解為\(P_m\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q_n\)，其中\(P,Q\)可逆、\(r\)為\(A\)的秩。
2.2 正交分解
根據Schmidt正交化方法可知，任何可逆矩陣\(A\)都可以分解為\(QR\)，其中\(Q\)為正交矩陣、\(R\)為上三角矩陣，這樣的分解稱為QR分解。另外，假設存在兩個不同的分解\(Q_1R_1=Q_2R_2\)，則有\(Q_2^{-1}Q_1=R_1R_2^{-1}\)，等式左邊是正交矩陣，右邊為上三角矩陣。而顯然三角正交矩陣只能是\(I\)，故有\(Q_1=Q_2,R_1=R_2\)，這說明QR分解是唯一的。其實對於一般的列滿矩陣\(A_{m\times n}\)，一樣可以證明它有唯一分解\(Q_{m\times n}R_n\)，其中\(Q\)為列滿秩矩陣，\(R\)為上三角方陣。
對於任意復矩陣\(A\)，先找到任意特征值\(\lambda\)及特征向量\(\alpha\)，將\(\alpha\)單位化並開展為正交基\(\{\eta_1,\cdots,\eta_n\}\)。考察正交矩陣\(T_0=[\eta_1,\cdots,\eta_n]\)下的正交變換\(B=T_0^{-1}AT_0\)，易知\(B\)有形式\(\begin{bmatrix}\lambda&\beta\\0&C\end{bmatrix}\)。利用歸納法可以證明，\(A\)正交相似於一個上三角矩陣\(U\)，即存在正交矩陣\(T\)使得\(A=T^{-1}UT\)。
對任意實矩陣\(A\)，如果假設它的特征值都是實數，類似剛才的推論可以得到相同的結論。這時如果再附加對稱的條件，則同樣證得\(A\)正交相似於對角矩陣。這是我們熟悉的結論，這里從另一個視角再看到它。當然這個條件也可以以其它形式給出，比如假設\(A'A=AA'\)（正規矩陣），可以得到\(UU'=U'U\)，依次對比等式兩邊的對角線可知\(U\)為對角矩陣（從而\(A\)為對稱矩陣）。
2.3 正定矩陣的分解
由於實對稱矩陣可以有正交變換\(A=T^{-1}DT\)，如果\(A\)正定，則可以有拆分\(D=D_0^2\)，其中\(D_0=\text{diag}\{\sqrt{\lambda_i}\}\)。這樣就可以說正定矩陣可以有分解\(A=C^2\)，其中\(C\)為正定矩陣。\(C=T^{-1}D_0T\)是顯然的一個分解（\(A=C^2\)），那它是不是唯一分解呢？設有兩種分解\(C_1=T_1^{-1}D_1T_1,C_2=T_2^{-1}D_2T_2\)，由\(C_1^2=C_2^2\)可得\(D_1^2S=SD_2^2\)，其中\(S=T_1T_2^{-1}\)為正交矩陣。這樣就有\(d_{1i}^2s_{ij}=s_{ij}d_{2j}^2\)，不管怎樣都有\(d_{1i}s_{ij}=s_{ij}d_{2j}\)，從而\(D_1S=SD_2\)。再按原路返回便得到\(C_1=C_2\)，分解的唯一性得證。
另外，當\(A\)為實可逆矩陣時，\(A'A\)是正定矩陣，從而可以有唯一分解\(A'A=S_1^2\)，其中\(S_1\)是正定矩陣。容易驗證\((A')^{-1}S_1\)是正交矩陣，從而存在分解\(A=TS_1\)，其中\(T\)為正交矩陣。取\(S_2=TS_1T^{-1}\)，則有\(A=S_2T\)，其中\(S_2\)也是正定矩陣。另外不難證明\(S_1,S_2\)的唯一性，從而得到極分解定理：實可逆矩陣有唯一分解\(A=TS_1=S_2T\)，其中\(T\)為正交矩陣、\(S_1,S_2\)為正定矩陣。進一步地，可以將\(S_1\)進行正交分解，從而實可逆矩陣\(A\)有分解\(T_1DT_2\)，其中\(T_1,T_2\)為正交矩陣、\(D=\text{diag}\{\sqrt{\lambda_i}\}\)（\(\lambda_i\)為\(A'A\)特征值）。
2.4 矩陣分解總結
以下式（6）~（11）總結了至今講到的重要矩陣分解，其中\(P\)是可逆矩陣、\(T,Q\)是正交矩陣、\(S\)為正定矩陣、\(L\)為對角線全為\(1\)的下三角矩陣、\(U,R\)為可逆上三角矩陣，\(\overset{*}{=}\)表示分解唯一。\(D\)為對角矩陣，其中式（8）中\(D\)的對角元素為所有特征值，（11）式中\(D\)可逆。
\[|A|\ne 0\;\Rightarrow\; A\overset{*}{=}QR\overset{*}{=}TS_1\overset{*}{=}S_2T=T_1DT_2\tag{6}\]
\[A=A'\Rightarrow A=P'DP\tag{7}\]
\[A=A',A\in \mathbb{R}_{n\times n}\Rightarrow A=T'DT\tag{8}\]
\[A\cong I,A\in \mathbb{R}_{n\times n}\;\Rightarrow\;A=P'P\overset{*}{=}S^2\tag{9}\]
\[A_k=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}\ne 0,(k=1,\cdots,n)\;\Rightarrow\; A\overset{*}{=}LU\tag{10}\]
\[A=A',A_k\ne 0\;\Rightarrow\;A=LDL'\tag{11}\]