高等代數7 線性變換
線性變換的定義
線性空間\(V\)到自身的映射通常稱為\(V\)的一個變換。
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定義
線性空間\(V\)的一個變換\(\mathscr{A}\)稱為線性變換，如果對於\(V\)中任意的元素\(\alpha,\beta\)和數域\(P\)中的任意數\(k\)都有
\[\mathscr{A}(\alpha+\beta)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{A}(\beta) \\ \mathscr{A}(k\alpha)+k\mathscr{A}(\alpha) \]線性變換\(\mathscr{A}\)保持向量的加法和數量乘法。
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恆等變換、單位變換 \(\mathscr{E}(\alpha)=\alpha \ \ (\alpha \in V)\)
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零變換\(\mathscr{0}\) \(\mathscr{0}(\alpha)=0 \ \ (\alpha \in V)\)
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數乘變換 設\(V\)是數域\(P\)上的線性空間，\(k\)是數域\(P\)上的某個數，定義\(V\)的變換：\(\alpha \rightarrow k\alpha, \ \ \alpha\in V\)
這是一個線性變換，稱為由數\(k\)決定的數乘變換。
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簡單性質
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線性空間\(V\)的一個線性變換\(\mathscr{A}\)，則\(\mathscr{A}(0)=0,\mathscr{A}(-a)=-\mathscr{A}(a)\)
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線性變換保持線性組合不變
\[\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r \\ \mathscr{A}(\beta)=k_1\mathscr{A}(\alpha_1)+k_2\mathscr{A}(\alpha_2)+\cdots+k_r\mathscr{A}(\alpha_r) \\ \] -
線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。
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線性變換的運算
線性變換作為映射的特殊情形可以定義乘法運算
乘法
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設\(\mathscr{A},\mathscr{B}\)是線性空間\(V\)上的兩個線性變換，它們的乘積\(\mathscr{A}\mathscr{B}\)為\((\mathscr{A}\mathscr{B})(\alpha)=\mathscr{A}(\mathscr{B}(\alpha)) \ \ \ (\alpha \in V)\)
線性變換的乘積也是線性變換。
- 適合結合律 \((\mathscr{A}\mathscr{B})\mathscr{C}=\mathscr{A}(\mathscr{B}\mathscr{C})\)
- 一般是不可交換的
- 單位變換\(\mathscr{E}\) \(\mathscr{E}\mathscr{A}=\mathscr{A}\mathscr{E}=\mathscr{A}\)
加法
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設\(\mathscr{A},\mathscr{B}\)是線性空間\(V\)上的兩個線性變換，它們的和\(\mathscr{A}+\mathscr{B}\)為\((\mathscr{A}+\mathscr{B})(\alpha)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{B}(\alpha) \ \ \ (\alpha \in V)\)
線性變換的和還是線性變換
- 交換律 \(\mathscr{A}+\mathscr{B}=\mathscr{B}+\mathscr{A}\)
- 結合律 \((\mathscr{A}+\mathscr{B})+\mathscr{C}=\mathscr{A}+(\mathscr{B}+\mathscr{C})\)
- 零變換\(\mathscr{0}\) \(\mathscr{A}+\mathscr{0}=\mathscr{A}\)
- 負變換 \(\mathscr{A}+(-\mathscr{A})=\mathscr{0}\) .負變換也是線性的。
線性變換乘法對加法具有左右分配律
\(\mathscr{A}(\mathscr{B}+\mathscr{C})=\mathscr{A}\mathscr{B}+\mathscr{A}\mathscr{C}\)
\((\mathscr{B}+\mathscr{C})\mathscr{A}=\mathscr{B}\mathscr{A}+\mathscr{C}\mathscr{A}\)
數量乘法
- 數域\(P\)中的數與線性變換的數量乘法為 \(k\mathscr{A}=\mathscr{K}\mathscr{A}\)
- \((kl)\mathscr{A}=k(l\mathscr{A})\)
- \((k+l)\mathscr{A}=k\mathscr{A}+l\mathscr{A}\)
- \(k(\mathscr{A}+\mathscr{B})=k\mathscr{A}+k\mathscr{B}\)
- \(1\mathscr{A}=\mathscr{A}\)
線性空間\(V\)上全體線性變換，對於如上定義的加法與數量乘法，也構成數域\(P\)上的一個線性空間
逆變換
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\(V\)上的變換\(\mathscr{A}\)稱為可逆的，如果有\(V\)的變換\(\mathscr{B}\)存在，使 \(\mathscr{A}\mathscr{B}=\mathscr{B}\mathscr{A}=\mathscr{E}\)
這時，變換\(\mathscr{A}\)稱為\(\mathscr{A}\)的逆變換，稱為\(\mathscr{A}^{-1}\)
如果線性變換\(\mathscr{A}\)是可逆的，那么它的逆變換\(\mathscr{A}^{-1}\)也是線性變換。
多項式
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冪
\(\mathscr{A}^n=\mathscr{A}\mathscr{A}\cdots\mathscr{A}(n個)\)，\(\mathscr{A}^n\)稱為\(\mathscr{A}\)的\(n\)次冪
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\(\mathscr{A}^0=\mathscr{A}\)
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指數法則 \(\mathscr{A}^{n+m}=\mathscr{A}^n\mathscr{A}^m \\ (\mathscr{A}^m)^n=\mathscr{A}^mn\)
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注意 一般來說， \((\mathscr{A}\mathscr{B})^n \neq \mathscr{A}^n \mathscr{B}^n\)
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多項式
設 \(f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_0x^0\)是\(P[x]\)中的一個多項式， \(\mathscr{A}\)是\(V\)的一線性變換
\(f(\mathscr{A})=a_m\mathscr{A}^m+a_{m-1}\mathscr{A}^{m-1}+\cdots+a_0\mathscr{A}^0\)是一線性變換，它稱為線性變換\(\mathscr{A}\)的多項式。
- 如果在\(P[x]\)中，\(h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)\)，那么\(h(\mathscr{A})=f(\mathscr{A})+g(\mathscr{A}),p(\mathscr{A})=f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})\)
- 可交換 \(f(\mathscr{A})g(\mathscr{A})=g(\mathscr{A})f(\mathscr{A})\) 即同一個線性變換的多項式的乘法是可交換的。
線性變換的矩陣
線性變換\(\mathscr{A}\)在下基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)的矩陣
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設\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是線性空間\(V\)的一組基。
如果線性變換\(\mathscr{A}\)與\(\mathscr{B}\)在這組基上的作用相同，即\(\mathscr{A}\varepsilon_i=\mathscr{B}\varepsilon_i,\ \ i=1,2,\cdots,n\) 那么\(\mathscr{A}=\mathscr{B}\)。
意義：一個線性變換完全被它在一組基上的作用決定
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設\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是線性空間\(V\)的一組基。
對於任意一組向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)，一定有一個線性變換\(\mathscr{A}\)使\(\mathscr{A}\varepsilon_i=\alpha_i,i=1,2,\cdots,n\)
意義：基向量的像完全可以是任意的
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定理
設\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是線性空間\(V\)的一組基，\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)是\(V\)中的任意\(n\)個向量。
存在唯一的線性變換\(\mathscr{A}\)使\(\mathscr{A}\varepsilon_i=\alpha_i,i=1,2,\cdots,n\)
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定義
設\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是數域\(P\)上\(n\)維線性空間\(V\)的一組基，\(\mathscr{A}\)是\(V\)的一個線性變換。
基向量的像可以被基線性表出：
\[\begin{cases} \mathscr{A}\varepsilon_1=a_{11}\varepsilon_1 +a_{12}\varepsilon_2+\cdots +a_{1n}\varepsilon_n \\ \mathscr{A}\varepsilon_2=a_{21}\varepsilon_1 +a_{22}\varepsilon_2+\cdots +a_{2n}\varepsilon_n \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ \mathscr{A}\varepsilon_n=a_{n1}\varepsilon_1 +a_{n2}\varepsilon_2+\cdots +a_{nn}\varepsilon_n \\ \end{cases} \\ \mathscr{A}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n) =(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n) =(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n) \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right ) \\ A= \left ( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \\ \end{matrix} \right ) \]其中\(A\)稱為線性變換\(\mathscr{A}\)在下基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)的矩陣
在取定一組基后，我們就建立了由數域\(P\)上的\(n\)維線性空間\(V\)的線性變換到數域\(P\)上的\(n \times n\)矩陣的一個映射，1說明這個映射是單射，2說明是滿射，因此這個映射是一一對應的（雙射）。
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定理
設\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是數域\(P\)上\(n\)維線性空間\(V\)的一組基，在這組基下，每個線性變換按着公式(3)對應一個\(n \times n\)矩陣。這個對應具有以下性質：
- 線性變換的和對應矩陣的和；
- 線性變換的乘積對應矩陣的乘積；
- 線性變換的數量乘積對應矩陣的數量乘積；
- 可逆的線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應逆矩陣。
定理說明，數域\(P\)上\(n\)維線性空間\(V\)的全部線性變換構成的集合\(L(V)\)對於線性變換的加法與數量乘法構成\(P\)上一個線性空間，與數域\(P\)上\(n\)級方陣構成的線性空間\(P^{n \times n}\)同構。
線性變換的矩陣計算向量的像
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定理
設線性變換\(\mathscr{A}\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)下的矩陣是\(A\)，向量\(\xi\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)下的坐標是\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，
則\(\mathscr{A}\xi\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)下的坐標\((y_1，y_2,\cdots,y_n)\)可以按公式
\[\left ( \begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{matrix} \right ) =A \left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right ) \]計算。
線性變換的矩陣與基的關系
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定理
線性空間\(V\)的線性變換\(\mathscr{A}\)在兩組基
\[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n \\ \eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n \]下的矩陣分別是\(A,B\)，從基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)到基\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n\)的過渡矩陣是\(X\)，於是\(B=X^{-1}AX\).
這個定理告訴我們，同一個線性變換\(\mathscr{A}\)在不同基下的矩陣之間的關系。
相似
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定義 相似
設\(A、B\)是數域\(P\)上兩個\(n\)級矩陣，如果可以找到數域\(P\)上的\(n\)級可逆矩陣\(X\)，使得\(B=X^{-1}AX\)，就說\(A\)相似於\(B\)，記作\(A \sim B\)
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性質
- 自反性 \(A\sim A\)
- 對稱性 \(A \sim B ,B \sim A\)
- 傳遞性 \(A \sim B ,B \sim C\)，則\(A \sim C\)
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定理
線性變換在不同基下所對應的矩陣是相似的。
如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作同一個線性變換在兩組基下所對應的矩陣。
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運算性質
如果\(B_1=X^{-1}A_1X,B_2=X^{-1}A_2X\)，那么
- \(B_1+B_2=X^{-1}(A_1+A_2)X\)
- \(B_1B_2=X^{-1}(A_1A_2)X\)
- 若\(f(x)\)是數域\(P\)上一多項式 \(f(B)=X^{-1}f(A)X\)
特征值與特征向量
定義
適當選擇一組基后，一個線性變換的矩陣可以化成什么樣的簡單形式
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定義 特征值、特征向量
設\(\mathscr{A}\)數域\(P\)上\(n\)維線性空間\(V\)的一個線性變換，如果對於數域\(P\)中一數\(\lambda_0\)，存在一個非零向量\(\xi\)，使得
\[\mathscr{A}\xi= \lambda_0\xi \]那么\(\lambda_0\)稱為\(\mathscr{A}\)的一個特征值，而\(\xi\)稱為\(\mathscr{A}\)的屬於特征值\(\lambda_0\)的一個特征向量。
特征值是被特征向量唯一決定的，一個特征向量只能屬於一個特征值。
尋找特征值和特征向量的方法
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定義 特征多項式
設\(A\)是數域\(P\)上一\(n\)級矩陣，\(\lambda\)是一個文字。
矩陣\(\lambda E-A\)的行列式
\[|\lambda E-A| =\left | \begin{matrix} \lambda-a_{11} &- a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ - a_{s1} & -a_{s2} & \cdots & \lambda-a_{sn} \\ \end{matrix} \right | \]稱為\(A\)的特征多項式。
這是數域\(P\)上的一個\(n\)次多項式。
求特征值\(\lambda_0\)與特征向量\(\xi\)
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取一組基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\),寫\(\mathscr{A}\)在這組基下的矩陣\(A\);
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求出特征多項式\(|\lambda E-A|\)的根\(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)，（\(\lambda\)是線性變換\(\mathscr{A}\)的全部特征值）；
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將特征值帶入方程組
\[(\lambda_i E-A)\left ( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right )=0 \\ \begin{cases} (\lambda_0 -a_{11})x_1 +a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1 +(\lambda_0-a_{22})x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0 \\ \ \ \ \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+\cdots +(\lambda_0-a_{nn})x_n=0 \\ \end{cases} \]解得基礎解系\((x_1,x_2,\cdots,x_n)_i\)。（也就是特征向量\(\xi_i\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)下的坐標）
\(\xi_i=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n\)
特征子空間
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定義
線性變換\(\mathscr{A}\)的任一個特征值\(\lambda_0\)，全部適合條件 \(\mathscr{A}\alpha=\lambda_0 \alpha\)的向量\(\alpha\)所組成的集合，也就是\(\mathscr{A}\)的屬於\(\lambda_0\)的全部特征向量再添上零向量組成的集合，是\(V\)的一個子空間，稱為\(\mathscr{A}\)的一個特征子空間，記作\(V_{\lambda_0}\).
\(V_{\lambda_0}\)的維數就是屬於\(\lambda_0\)的線性無關的特征向量的最大個數。
用集合表示可寫為\(V_{\lambda_0}=\{\alpha|\mathscr{A}\alpha=\lambda_0 \alpha ,\alpha \in V\}\)
特征多項式
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跡 \(A\)的全體特征值的和為\(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\)，稱為\(A\)的跡，記為\(Tr(A)\)。
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積 \(A\)的全體特征值的積為\(|A|\)。
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定理 相似的矩陣有相同的特征多項式。
線性變換的矩陣的特征多項式與基的選擇無關，直接被線性變換決定，特征多項式可以稱為線性變換的多項式
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哈密頓—凱萊定理
設\(A\)是數域\(P\)上一個\(n \times n\)矩陣，\(f(\lambda)=|\lambda E-A|\)是\(A\)的特征多項式，則
\[f(A)=A^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})A^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|E =O \]
對角矩陣
哪一些線性變換在一組恰當的基下可以是對角矩陣
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定理
設\(\mathscr{A}\)是\(n\)維線性空間\(V\)的一個線性變換，\(\mathscr{A}\)的矩陣可以在某一組基下為對角矩陣的充分必要條件是,\(\mathscr{A}\)有\(n\)個線性相關的特征向量。
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定理
屬於不同特征值的特征向量是線性無關的。
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推論1
如果在\(n\)維線性空間\(V\)中，線性變換\(\mathscr{A}\)的特征多項式在數域\(P\)中有\(n\)個不同的根，即\(\mathscr{A}\)有\(n\)個不同的特征值，那么\(\mathscr{A}\)在某組基下的矩陣是對角形的。
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推論2
在復數域上的線性空間中，如果線性變換\(\mathscr{A}\)的特征值多項式沒有重根，那么\(\mathscr{A}\)在某組基下的矩陣是對角形的。
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定理
如果\(\lambda_1.\cdots,\lambda_k\)是線性變換\(\mathscr{A}\)的不同的特征值，而\(\alpha_{i1},\cdots,\alpha_{ir_i}\)是屬於特征值\(\lambda_i\)的線性無關的特征向量，\(i=1,\cdots,k\)，那么向量組\(\alpha_{11},\cdots,\alpha_{1r_1},\cdots,\alpha_{k1},\cdots,\alpha_{kr_k}\)也線性無關。
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設\(\mathscr{A}\)在某一組基下的矩陣成對角形的充分必要條件是\(\mathscr{A}\)的特征子空間\(V_{\lambda_1},\cdots,V_{\lambda_r}\)的維數之和等於空間的維數。
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如果線性變換\(\mathscr{A}\)在一組基下的矩陣是對角形的，那么主對角矩陣上的元素除排列次序以外是確定的，它們正是\(A\)的特征多項式全部的根（重根按重數計算）。
線性變換的值域與核
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定義 值域 核
設\(\mathscr{A}\)是線性空間\(V\)的一個線性變換，\(\mathscr{A}\)的全體像組成的集合稱為\(\mathscr{A}\)的值域，用\(\mathscr{A}V\)表示
所有被\(\mathscr{A}\)變成零向量的向量組成的集合稱為\(\mathscr{A}\)的核，用\(\mathscr{A}^{-1}(0)\)表示。
\(\mathscr{A}V\)的維數稱為\(\mathscr{A}\)的秩
\(\mathscr{A}^{-1}(0)\)的維數稱為\(\mathscr{A}\)的零度。
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定理
設\(\mathscr{A}\)是\(n\)維線性空間\(V\)的線性變換，\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是\(V\)的一組基，在這組基下\(\mathscr{A}\)的矩陣是\(A\),則
- \(\mathscr{A}\)的值域\(\mathscr{A}V\)是由基像組成的子空間，即\(\mathscr{A}V=L(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_)\)；
- \(\mathscr{A}\)的秩= \(A\)的秩
定理說明線性變換與矩陣之間的對應關系保持秩不變。
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定理
設\(\mathscr{A}\)是\(n\)維線性空間\(V\)的線性變換，則\(\mathscr{A}V\)的一組基的原像及\(\mathscr{A}^{-1}(0)\)的一組基合起來就是\(V\)的一組基，
由此還有 \(\mathscr{A}的秩+\mathscr{A}的零度=n\)
推論
對於有限維線性空間的線性變換，它是單射的充分必要條件為它是滿射。
不變子空間
線性變換的矩陣的化簡與線性變換的內在聯系
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定義 不變子空間
設\(\mathscr{A}\)是數域\(P\)上線性空間\(V\)的線性變換，\(W\)是\(V\)的子空間。
如果\(W\)的向量在\(\mathscr{A}\)下的像仍在\(W\)中，換句話說，對於\(W\)中任一向量\(\xi\)，有\(\mathscr{A}\xi \in W\)，
我們稱$ W\(是\)\mathscr{A}\(的**不變子空間**，簡稱\)\mathscr{A}$-子空間。
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矩陣分解為准對角形矩陣與空間分解為不變子空間的直和是相當的。
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定理
設線性變換\(\mathscr{A}\)的特征多項式為\(f(\lambda)\)，它可分解為一次因式的乘積
\(f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots=(\lambda-\lambda_s)^{r_s}\)
則\(V\)可以分解成不變子空間的直和
\(V=V_1\oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_s，V_i=\{ \xi |(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0,\xi \in V\}\)
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定義
在上式，我們稱\(V_i=\{ \xi |(\mathscr{A}-\lambda_i\mathscr{E})^{r_i}\xi=0,\xi \in V\}\)為\(\mathscr{A}\)的屬於特征值\(\lambda_i\)的根子空間，常記為\(V^{\lambda_i}\)
若爾當標准形
復數域中的矩陣一定與一個若爾當標准形相似。
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定義 若爾當塊 若爾當矩陣
形式為
\[J(\lambda_0,k)= \left ( \begin{matrix} \lambda_0 & 0 &0 & \cdots & 0 &0 &0 \\ 1 & \lambda_0 &0 & \cdots & 0 &0 &0 \\ \vdots & \vdots &\vdots & & \vdots &\vdots &\vdots\\ 0 &0 &0 & \cdots & 1 &\lambda_0 &0 \\ 0 & 0 &0 & \cdots & 0 &1 &\lambda_0 \end{matrix} \right )_{k \times k} \]的矩陣稱為一個若爾當塊，其中\(\lambda_0\)是復數。
由若干個若爾當塊組成的准對角矩陣\[A= \left ( \begin{matrix} J(\lambda_1,k_1) & & & \\ & J(\lambda_2,k_2) & & \\ & &\ddots & \\ & & & J(\lambda_s,k_s) \\ \end{matrix} \right ) \]稱為一個若爾當形矩陣，其中\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s\)為復數，有一些可以相同。
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定理
設\(\mathscr{A}\)是復數域上\(n\)維線性空間\(V\)的一個線性變換，則\(V\)中一定存在一組基，\(\mathscr{A}\)在這組基下的矩陣是若爾當形矩陣並且這個若爾當形矩陣出去其中的若爾當塊的排列順序外，由\(\mathscr{A}\)唯一決定，它稱為\(\mathscr{A}\)的矩陣的若爾當標准形。
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推論
每個\(n\)級復矩陣\(A\)一定與一個若爾當矩陣相似。這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列順序外由\(A\)唯一決定，稱為\(A\)的若爾當標准形。