什么是線性變換和非線性變換

一、總結

一句話總結：

[①]、從數值意義上，變換即函數，線性變換就是一階導數為常數的函數，譬如y=kx，把y=kx拓展為n維空間的映射，x、y看做n維向量，當k為常數時，易得滿足同質性f(ka)=kf(a)，當k為一個矩陣時，易得滿足可加性f(a+b)=f(a)+f(b)。

[②]、同質性和可加性又稱為線性條件，滿足該條件則為線性變換，反之則為非線性變換。

[③]、一個變換，其實就是一個函數f(x)，輸入為x，在通過這個函數之后就變成了y對吧，那么這個從輸入到輸出的轉變過程就是所謂的變換，至於變換是非線性還是線性的，完全取決於函數長什么樣子，

[④]、如果函數可以表達為ax+b的形式，就是線性的（在平面上畫出來是一條直線），如果出現了指數(x^3)或者對數項(log(x))之類的，就是非線性的（在平面上畫出來是一條曲線）

 

 

二、什么是線性變換和非線性變換

轉自或參考：什么是線性變換和非線性變換？
https://www.zhihu.com/question/298320067

 

從幾何意義上，線性變換表示的是直線的特性，符合兩個性質：變換前后零點不變，變換前后直線還是直線。

線性變換意味着可以將空間中的向量圍繞零點進行旋轉伸縮，但不能將其彎曲，否則則是非線性變化。

非線性變換將空間進行了扭曲，比如把SVM中的核函數看做描述低維空間到高維空間的映射，把原始低維空間中線性不可分的數據變成高維空間中線性可分的數據，優雅解決了問題。

從數值意義上，變換即函數，線性變換就是一階導數為常數的函數，譬如y=kx，把y=kx拓展為n維空間的映射，x、y看做n維向量，當k為常數時，易得滿足同質性f(ka)=kf(a)，當k為一個矩陣時，易得滿足可加性f(a+b)=f(a)+f(b)。

同質性和可加性又稱為線性條件，滿足該條件則為線性變換，反之則為非線性變換。

 

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其實這個問題很容易理解，一個變換，其實就是一個函數f(x)，輸入為x，在通過這個函數之后就變成了y對吧，

那么這個從輸入到輸出的轉變過程就是所謂的變換，至於變換是非線性還是線性的，完全取決於函數長什么樣子，

如果函數可以表達為ax+b的形式，就是線性的（在平面上畫出來是一條直線），如果出現了指數(x^3)或者對數項(log(x))之類的，就是非線性的（在平面上畫出來是一條曲線）

 

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線性回歸和非線性回歸

 

線性回歸的話其實就是用線性模型去解決回歸問題，那什么是線性模型呢，我們這里假設輸入為X，X是三維的，

因此我們可以將輸入表示為：（x1, x2, x3）那么線性模型的假設函數就可以表示為w1 * x1+w2 * x2+ w3 * x3 + bias，

這樣形式的模型就是線性模型，換句話說就是對輸入做線性變換，和題主問的問題還挺相似的吧！

同理，非線性回歸就是用非線性模型來做回歸，非線性模型，如果你能寫出那個假設函數，就會發現，這個公式里邊會包含一些高次項，比如指數等