關聯：0 復習與引申
線性空間與線性變換是線性代數中最基本的兩個概念，它們分別是\(n\)維向量空間\(F^n\)與線性變換\(Y=AX\)的推廣。
線性空間證明
- 若要證明\(V\)是數域\(P\)上的線性空間（表示為\(V(P)\)，必須驗證\(V\)對於向量的加法與數乘運算封閉，且滿足8條性質；
- 若要說明\(V\)不是數域\(P\)上的線性空間，則只需說明\(V\)對於向量的加法與數乘運算其中之一不封閉，或者運算不滿足8條中的某一條即可。
線性空間的性質：
線性表示
- 以少表多，多的相關。
基和維數
- 基和維數本質上很像極大無關組和秩（亦或是基礎解系）
- 線性空間的基不一定存在
求基和維數的一些例題：
- 如題：在數域中，均為n維向量，那就讓每一位分別為1（就像構築坐標軸那樣），於是維數就是n，基就是分別為1其余為0的各個n維向量
- 如題：在數據中，均為\(2*2\)矩陣，依然是讓每一位分別為1的思路，如\(E_{11}\)、\(E_{12}\)、\(E_{21}\)、\(E_{22}\)即可構築一個基，進而得到維數為4
由此可以類推到\(s*n\)階的矩陣情況下。
求維數
- 要說明一個線性空間\(V\)的維數是n，只需找出\(V\)中n個線性無關的向量，並且\(V\)中每一個向量均可以由這n個向量線性表示。
坐標與基
坐標要與基在一起才有意義。
- 這里注意坐標的表示形式：
最后要把a、b、c、d豎起來作為坐標結果。
求基和維數
- 一維的情況：
- 二維的情況：
核心思想其實就是這樣豎起來，變成坐標，然后行初等變換就可以求基了。
向量組的線性相關性
- 一道例題：
過渡矩陣
- 過渡矩陣的用途：
注意這里由\(e\)到\(α\)是經過過渡矩陣\(A\)，所以有\(α\)到\(e\)就需要經過過渡矩陣\(A\)的逆，然后由\(e\)再到\(β\)經過過渡矩陣\(B\)，這樣即可達成從\(α\)到\(e\)再到\(β\)的串聯，即\(A^{-1}B\)。
由此引出了下面的坐標變換公式。
- 坐標變換公式：
子空間證明
要證明\(W\)是\(V\)的子空間，首先說明\(W\)不空，再證明\(W\)對\(V\)的兩種運算封閉即可。
- 平凡子空間：
零空間 \({θ}\) 和 \(V\) 空間本身都是 \(V\) 的子空間，又被叫做平凡子空間。
從幾何的角度理解：若空間構成的平面或直線經過原點，則它構成子空間，否則由於不封閉，無法構成子空間。
生成子空間
- 設一個線性空間\(V\)中的向量組，則該向量組所有可能的線性組合所構成的集合是\(V\)的生成子空間，稱為\(V\)的生成子空間；稱對應的向量組為生成向量組，簡稱生成組。
- 生成向量組的極大線性無關組是生成子空間的基，故 \(dim\)(生成子空間)=\(rank\)(生成向量組的秩)
因此求生成子空間的基和維數，就等價於求該生成子空間向量組的極大線性無關組和秩（即，極大線性無關組向量的個數）。
基擴張定理
線性空間中一組線性無關的向量可以結合其余向量構成該線性空間的基。
求兩個子空間交於和的基與維數
知道基自然也就知道維數了。
-
和的基與維數
\(V_1\)+\(V_2\)的基和維數比較好求，直接拼起來求極大無關組就可以。 -
交的基與維數
- 求出使\(\xi=x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+…+x_r \alpha_r=y_1 \beta_1+y_2 \beta_2+…+y_s \beta_s\) 的極大無關組\(\xi_1，\xi_2，…，\xi_k\)，就是\(V_1∩V_2\)的基。
- 求\(V_1∩V_2\)的維數可以用維數定理：\(dimV_1+dimV_2=dim(V_1+V_2)+dim(V_1∩V_2)\)
也就是可以通過求和的維數來迂回的求交的維數。
直和
證明 \(W=W_1 \oplus W_2\)：首先證明\(W=W_1+W_2\)，其次證明\(W_1∩W_2=\left\{0\right\}\) 或者 \(dimW=dimW_1+dimW_2\)。
並集（和）線性無關即為直和；
可以簡單的理解為：交為空，並為全。
線性映射
- 雙射才是可逆的
dimV有限時，f ∈ Hom(V,V)，則\(f\)可逆\(\leftrightarrows\)\(f\)是單射\(\leftrightarrows\)\(f\)是滿射
- 齊性+可加性→線性映射，線性空間到線性空間自身的映射稱為線性變換，記\(V(F)\)到\(U(F)\)的一切線性映射之集合為\(Hom(V,U)\)
- 線性映射的性質：
理解映射時可以把映射理解為矩陣，在計算等很多方面也很類似（關聯到線性映射的矩陣）。
這里比較重要的就是值域和核的概念。
線性變換的運算
線性變換的運算包括數乘和求和。
- 線性變換的運算的性質：
- \((fg)h=f(gh)\)
- \(f(g+h)=fg+fh\)
- \((g+h)f=gf+hf\)
注意乘法不滿足交換律。
線性映射的矩陣
這里就和相似矩陣的定義相關聯。
- 例題：
- 定理：
也就是說求線性變換在一組基下的矩陣有兩種求法：①直接求法和②間接求法，間接求法指的就是這里的\(B=P^{-1}AP\)
值域與核
\(dimR(f)+dimK(f)=dimV\)，即值域的維數+核的維數=線性變換的維數。
-
定理：
假設\(f∈Hom(V,U)\)，則
\(f\)是滿射\(\leftrightarrows R(f)=U\)
\(f\)是單射\(\leftrightarrows K(f)=\left\{\theta \right\}\) -
求值域和核的基與維數（知道基就知道維數了）：
設\(T\)在基\(\alpha_1，\alpha_2，…，\alpha_n\)下的矩陣是\(A\)
- 求出矩陣\(A\)的極大無關組，再與基\(\alpha_1，\alpha_2，…，\alpha_n\)相乘即可得到值域\(R(T)\)的一組基；
- 求出齊次線性方程組\(AX=0\)的基礎解系，再與\(\alpha_1，\alpha_2，…，\alpha_n\)相乘即可得到核\(Ker(T)\)的一組基
核心在於求出線性變換在基下的矩陣，然后將矩陣通過初等行變換化為行最簡型，將 極大無關組/基礎解系 與 基 相乘即可得到對應的結果。
不變子空間
值域和核均為不變子空間，且剛好可以作為一個線性空間的直和分解。
引入不變子空間是為了簡化線性映射的矩陣的表示形式。因而較為重要的部分就是將線性空間分解為兩個不變子空間的直和，然后就可以簡化矩陣的表示。（常拆成值域和核）
幾何空間線性變換的例子
- 輯射相似變換
- 平行於某矢量的投影變換
- 平行於某一方向的壓縮（或延伸）
- 平行於某方向的推移
線性空間的同構
雙射+線性映射→線性空間同構、該映射為同構映射
- 充要條件
數域\(F\)上兩個有限維線性空間\(V\)與\(U\)同構的充分必要條件為\(dimV=dimU\)