1. 線性組合或線性表出
1）單個向量由向量組表出
對於線性空間中的一個向量 $\beta$，和一組向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$，$k_{1},k_{2},...,k_{s}$ 是空間所在數域上的一組實數，如果有
$$\beta = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + ... + k_{s}\alpha_{s}$$
則稱向量 $\beta$ 是向量組 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$ 的線性組合，或稱 $\beta$ 可由向量組 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$ 線性表示。
更進一步定義：如果存在一組不全為 $0$ 的數 $k_{1},k_{2},...,k_{s}$，使得向量組的線性組合滿足
$$\sum_{i=1}^{s}k_{i}\alpha_{i} = 0$$
則稱向量組 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}$ 線性無關，否則稱其為線性相關。
通俗的解釋：如果向量組中的某一個或多個向量可以由組內的其余向量通過加法或數乘表示，則該向量組線性相關，反之則線性無關。
既然一個向量組中的某些向量可以被其它向量表示，那么這些向量就是多余的。
2）向量組由向量組表出
設兩個 $n$ 維向量組 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}(I)$ 和 $\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}(II)$，若 $I$ 中的每一個向量都可以由 $II$ 表出，則稱 $I$ 可由 $II$ 線性表出。
如果可以相互線性表出，則稱兩個向量組等價。兩個等價的向量組必同維且等秩。並且有
$$r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) \leq r(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t})$$
這很容易理解：秩代表向量組所處空間的最低維度，位於低維空間的向量組自然沒辦法表示位於高維空間中的向量組。
2. 線性變換
一般情況下的變換是非常復雜的，而線性代數所研究的一種特別的變換，這類變換相對比較容易理解，也就是線性變換。
我們知道，只要選定了線性空間和該空間中的一組基，那一個向量就被確定了，進一步地，矩陣可以描述該空間中的任何一個運動（變換）。
使某個對象發生對應運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量，即
$$\beta = T\alpha$$
可見：矩陣的本質是運動的描述。變換矩陣 $T$ 必須滿足以下條件：
1）疊加性：任給向量 $\alpha _{1},\alpha _{2}$，有 $T(\alpha _{1} + \alpha _{2}) = T\alpha _{1} + T\alpha _{2}$。一個輸入分解后產生的輸出疊加效果與分解前一致。
2）齊次性：任給向量 $\alpha$ 和數 $k$，有 $T(k\alpha) = kT\alpha$，即輸入擴大 $k$ 倍，其輸出相應的也擴大 $k$ 倍。
對於一般的變換，輸出向量可能具有不同的維數，即不同線性空間的向量映射，而線性變換是到空間自身的映射，所以線性變換矩陣是一個方陣。
來看下面兩個例子：
$$\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7\\
2 & 5 & 8\\
3 & 6 & 5
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
8\\
10\\
8
\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7\\
2 & 5 & 8
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
8\\
10
\end{bmatrix}$$
兩個都是變換，但只有第一個是線性變換，因為第二個變換的輸出向量位於不同的線性空間，不是到線性空間自身的映射。
那方陣和非方陣到底是因為什么造成的差異呢？原因在於列向量的維數不同，即變換矩陣所選取的坐標系和輸入向量所選取的坐標系屬於不同的線性空間。
這樣一來，輸出向量就變到其它的線性空間去了。
由博客可知，坐標變換的本質就是矢量合成，以變換矩陣列向量組的極大線性無關組(滿秩的話，就是本身)作為一個基，然后合成相同效果的向量，此時輸
出向量的參考系或坐標系變了，變成描述變換矩陣的那個坐標系了。
直觀來講，線性變換表示的是直線的特性，符合兩個性質：變換前后原點不變，變換前后直線還是直線。
線性變換意味着可以將空間中的向量圍繞零點進行旋轉伸縮，但不能將其彎曲，否則則是非線性變化。
線性變換未必是可逆的。這一點詳見矩陣的逆。