什么是線性的？什么是空間？什么是變換？
變換倒是容易理解，就是某種映射。對於線性空間，有種似懂未懂的感覺，甚至對空間的概念就是三維坐標空間那樣的空間。之所以會有這種朦朧的感覺，是因為經常見到但又不認真地討論分析過它。
先給出結論，然后再仔細說明。
一、結論
線性空間把集合，數域以及滿足相應運算律的兩種運算作為統一整體的一個概念。
二、詳細介紹
定義：設V是一個非空集合，F是一個數域。
（1）如果能定義一種V的元素間的運算，叫做加法：對於V中任意兩個元素a,b,都有V中唯一的元素c與之對應；c稱為a與b的和，記為c=a+b。
（2）另外，還能定義一種數域F的數與集合V的元素間的運算，叫做數乘：對於數域F中任一數k及集合V中任一元素a，都有V中唯一的元素d與之對應；d稱為k與a的數積，記為 d=ka。
（3）並且以上兩種運算具有如下性質：對於任意的a，b，c屬於V及k，l屬於F，滿足...8個性質
則稱V為數域F上的一個線性空間
定義中的加法及乘法運算統稱為線性運算
三、深入理解
（1）線性空間亦稱向量空間。線性空間的元素又稱為向量，零元素又稱為零向量，負元素又稱負向量。
（2）“加法”與“數乘”其實各是一種給定的規則，能成為線性空間定義要求的運算，除了規則的確定性之外，還要具備“運算結果仍在V中”這一條件，即要求集合V具備對加法運算和數乘運算的封閉性。
（3）復數域C是實數域R上的一個線性空間。這里，加法是通常意義下的，數乘指實數乘復數。但如果數乘選擇
k。a=1/2ka,k屬於R，a屬於C
1。a=1/2a不滿足其中一條性質，因此在這樣的數乘意義下不能構成線性空間
（4）集合不能構成復數域C上的線性空間。通常意義下的數乘不滿足
（5）容易發現，很多例子中，構成線性空間時的兩種運算都是在所涉及領域中通常的加法和數乘，正因為這樣，線性空間的研究成果可以方便、有效地用於我們已經熟悉的許多領域、並且具有統一的、居高臨下的指導作用。但是，這絕對不是說，只有通常意義下的加法、數乘運算下才可以構成線性空間。例如：
設R+是正實數的全體集合，R是實數域，定義加法“#”及數乘“。”如下：
a#b=ab, a,b屬於R+（等式右端的ab為通常意義下的數的乘法）
k。a=ak k屬於R，a屬於R+
則R+上對於上述運算構成實數域R上的線性空間
注：這里定義的零元素是1，零元素的定義參見P195吉大教材，通常零元素記為0（但這只是記號，未必是真的零值），即a+0=a。上例中a#1=a，因此1值為零元素
（6）線性空間的基本性質:
線性空間的零元素唯一；
線性空間中任一元素的負元素唯一；
設V是數域F上的線性空間，則對任何a數域V及k屬於F，總有：0a=0零向量；k0=0；當k≠0且a≠0時，定有ka≠0
四、線性空間的子空間
（1）定義
設V是數域F上的線性空間，V1是V的一個非空子集。如果V1對於V的加法與數乘運算也構成數域F上的線性空間，則稱V1是V的一個線性子空間，簡稱子空間。子空間也滿足加法和數乘運算的封閉性。
線性空間V的本身和零子空間稱為平凡子空間。
（2）子空間的交與和
子空間的交V1∩V2也是V的子空間
子空間的和V1+V2也是V的子空間
子空間的直和：設V1和V2是線性空間V的兩個子空間，如果對於和空間V1+V2的任一向量a都有V1中唯一的向量a1及V2中唯一的向量a2使得a=a1+a2，則稱V1+V2為直和
V1+V2為直和的充分必要條件：V1∩V2={0}
參考文獻
吉大教材《線性代數》最后一章