1. 線性變換的概念
當一個矩陣 \(A\) 乘以一個向量 \(\boldsymbol v\) 時，它將 \(\boldsymbol v\) 變換到另一個向量 \(A\boldsymbol v\)。進來的是 \(\boldsymbol v\)，出去的是 \(T( \boldsymbol v) = A\boldsymbol v\)。一個變換 \(T\) 就像一個函數一樣，進來一個數字 \(x\)，得到 \(f(x)\)。但更高的目標是一次考慮所有的 \(\boldsymbol v\)，我們是將整個空間 \(\boldsymbol V\) 進行變換當我們用 \(A\) 乘以每一個向量 \(\boldsymbol v\) 時。
一個變換 \(T\)，為空間 \(\boldsymbol V\) 中的每一個向量 \(\boldsymbol v\) 分配一個輸出 \(T( \boldsymbol v)\)。這個變換是線性的，如果它滿足：
我們可以將這兩個條件結合成一個，
矩陣相乘滿足線性變化，因為 \(A(c\boldsymbol v+d\boldsymbol w)=cA\boldsymbol v + dA\boldsymbol w\) 始終成立。
線性變換滿足線到線，三角形到三角形，看下圖。
在一條線上的三個點經過變換后仍然在一條線上，變換前等距離的點變換后仍然是等距離的點，輸入是一個三角形變換后輸出還是一個三角形。這種線性可以擴展到三個向量或者 N 個向量的組合。
變換有自己的語言，如果沒有矩陣的話，我們沒辦法討論列空間。但是這些思想可以被保留，比如列空間包含所有的線性組合 \(Av\)，零空間包含所有使得 \(Av=0\) 的輸入。將它們轉化為值域（range）和核（kernel）：
\(T\) 的值域 = 所有輸出 \(T(v)\) 的集合，對應於列空間。
\(T\) 的核 = 所有使得 \(T(v)=0\) 的輸入的集合，對應於零空間。
投影任意一個三維向量到 \(xy\) 平面，那么我們有 \(T(x, y, z)=(x, y, 0)\)。值域就是這個平面，包含了所有的 \(T(v)\)；核是 \(z\) 軸，它們被投影到了零點。這是一個線性的變換。
投影任意一個三維向量到 \(z=1\) 平面，那么我們有 \(T(x, y, z)=(x, y, 1)\)。這不是一個線性的變換，為什么呢？它根本不能將零向量投影到零點，而這是線性變換必須滿足的條件。
假設 \(A\) 是一個可逆的矩陣，那么核是零向量，值域 \(W\) 和輸入空間 \(V\) 相同。有另一個線性變化是乘以矩陣 \(A^{-1}\)，它將每一個 $T(v) $都帶回到 \(v\)，有，
我們遇到了一個不可避免的問題，所有的線性變換都可以由一個矩陣產生嗎？答案是肯定的，所有的變換比如旋轉、投影……背后都藏着對應的一個矩陣。
最后我們來直觀地感受一下線性變換，看一個矩陣是怎么旋轉、拉伸或者以其它方式改變輸入的房子的。
2. 線性變換的對應矩陣
這部分的核心在於，如果我們知道了基向量 \(\boldsymbol{v_1} \cdots \boldsymbol{v_n}\) 的變換 \(T(\boldsymbol{v_1}) \cdots T(\boldsymbol{v_n})\)，那么由於變換是線性的，我們就知道了任意輸入向量 \(\boldsymbol{v}\) 的變換 \(T(\boldsymbol{v})\)。
每個向量 \(\boldsymbol{v}\) 都可以表示為基向量的唯一線性組合 \(c_1\boldsymbol{v_1}+ \cdots +c_n\boldsymbol{v_n}\)，又由於 \(T\) 是線性變換，那么必有 \(T(\boldsymbol{v}) = c_1T(\boldsymbol{v_1})+ \cdots +c_nT(\boldsymbol{v_n})\)。
函數 \(1, x, x^2, x^3\) 的導數是 \(0, 1, 2x, 3x^2\)。這里，\(1, x, x^2, x^3\)是立方多項式空間的一個基，輸入空間 \(V\) 包含它們的所有組合，四個基的導數可以告訴我們空間 \(V\) 中的所有導數。
針對求導這個變換 \(T\)，我們求解 \(d\boldsymbol v/dx=\boldsymbol0\) 來找到它的核。解是 \(\boldsymbol v=常數\)，因此 \(T\) 的零空間是一維的，包含所有的常函數。我們查看 \(T(v) = d\boldsymbol v/dx\) 的所有輸出來找到它的值域，由於輸入是三次多項式，三次多項式的導數是二次多項式，所以如果輸出空間 \(W\) 是二次多項式空間的話， 那么 \(T\) 的值域是整個 \(W\) ，維度為 3。核的維度+值域的維度=輸入空間的維度。
導數將立方空間 \(V\) 變換到平方空間 \(W\)，對應的矩陣是 \(3×4\) 大小的。
為什么 \(A\) 是正確的矩陣，我們可以看到乘以矩陣 \(A\) 和變換 \(T\) 是一致的，\(\boldsymbol{v}=a+bx+cx^2+dx^3\) 的導數是 \(T(v)=b+2cx+3dx^2\)。
然后我們來看積分變換 \(T^{-1}\)，對應的矩陣是 \(4×3\) 大小的，\(\boldsymbol{w}=B+Cx+Dx^2\) 的導數是 \(T^{-1}(w)=0+Bx+\frac{1}{2}Cx^2+\frac{1}{3}Dx^3\)。
長方形的矩陣 \(A\) 沒有雙邊逆矩陣，但它有單邊逆，積分是導數的單邊逆。
如果你對一個函數積分后再求導，那么你又回到了起始函數，所以 \(AA^{-1}=I\)。但是，如果你先求導再積分，常數項就會丟失，\(T^{-1}T(1)=0\)，這也就是為什么 \(A^{-1}A\) 的第一列為 0。
現在我們來構建任意線性變換的矩陣。假設變換 \(T\) 將 \(n\) 維空間 \(V\) 變換到 \(m\) 維空間 \(W\)， \(\boldsymbol{v_1} \cdots \boldsymbol{v_n}\) 是 \(V\) 的一組基向量，\(\boldsymbol{w_1} \cdots \boldsymbol{w_m}\) 是 \(W\) 的一組基向量。那么矩陣 \(A\) 是 \(m×n\) 大小的，要找到它的第一列，我們應用 \(T\) 到第一個基向量 \(\boldsymbol{v_1}\)，\(T(\boldsymbol{v_1})\) 位於 \(W\) 空間並有，
這些數字就是 \(A\) 的第一列元素，同理我們可以得到矩陣的所有元素。
所有的輸入向量都可以表示為 \(V\) 中基向量的線性組合，變換后的輸出則是 \(W\) 中基向量的線性組合。矩陣 \(A\) 告訴了我們變換 \(T\) 做了什么，任何從 \(V\) 到 \(W\) 的變換都可以轉換為一個矩陣，這個矩陣則取決於基向量的選擇。
兩個變換 \(S\) 和 \(T\) 分別用矩陣 \(B\) 和 \(A\) 表示。當我們應用 \(T\) 變換到 \(S\) 變換的輸出，我們得到了變換的組合 \(TS\)；當我們在 \(B\) 之后應用 \(A\)，我們得到了矩陣相乘 \(AB\)。矩陣相乘給出了變換 \(TS\) 的正確矩陣 \(AB\)。
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