回顧上個視頻，主要內容為線性變換。包括3部分內容：1. 嚴格意義，線性變換是將向量作為輸入和輸出的一類函數。2.直觀理解，線性變換看作是對空間的擠壓伸展，同時保持網格線平行且等距分布並且原點不變。3.基本關鍵點，線性變換完全決定於基向量變換前后所處的空間。補充說明：整個空間經過線性變換后，向量與基向量對應的線性組合方式不發生改變（線性變換后，網格線平行等距不離開原點決定的，始終保持相似的對應關系）。
- 復合變換
- 兩個矩陣的相乘的幾何意義：兩個線性變換的相繼作用。
- 運算順序：由右向左讀，對應為函數的記號，函數通常寫在變量的左側。
- 計算過程：
例如：M2*M1，首先找到經過M1的線性變換后基向量i移動到何處，進一步經過M2的線性變換基向量i最終處於何處。類比，基向量j。關鍵點在於，尋找變換后的基向量是理解復合變換的重點。
- M2*M1=M1*M2？？？
撇去基本代數知識，如何理解其不相等呢？簡單例子，先旋轉后剪切與先剪切后旋轉，所造成改變的基變量並不相同。
- （AB）C=A（BC）？？？
視頻作者提示，利用變換相繼的思想去考慮矩陣乘積。受上一個性質的迷惑，擔心計算先后順序會改變基向量的變化，那么深入思考。若矩陣變化次序不發生顛倒，始終保持從右向左的順序，那么旋轉與剪切的次序不會發生改變，繼而不用擔心旋轉剪切混亂現象的發生，換句話說，上一等式始終沿着保持着旋轉剪切的先后次序，僅僅是率先發生復合變換而以，所以不會產生實質影響。
- 評論區有意思的討論
- M1*M2≠M2*M1，順序變，結果變，為什么用結合律時結果又不變了呢？
有一位同學的回復是：交換律不滿足是因為左乘右乘進行的變換不一樣，交換之后向量表示的坐標也變了，所以不能交換。結合律沒有變，只是先伸縮或者放大的關系。
對於這種看法，一開始我的直覺是雖然左右乘顛倒，但是對於基向量都進行了一樣的旋轉和剪切，應該相等才對。但是看了視頻介紹發現，旋轉和剪切的先后順序決定性的改變了基向量的走向，換句話說，一個旋轉就可能讓基向量逃避掉它所該遭遇的剪切。這也就是直觀上交換律不應該被滿足的原因。進而看到下一個結合率，緊接着開始懷疑它是否被滿足，經過仔細思考會發現，結合率並沒有讓基向量逃掉任何一個必須經歷的變換，只是讓某些變換先發生而以，但是結果是注定不會改變的，因為始終保持從右向左的順序。
- 某一個同學的陳述，有趣。
第一次變化的時候，原始的 i hat和 j hat發生的變化，在第二次變化的時候，原始的 i hat和 j hat是分別作為了向量，跟隨第二次中又客觀存在的 i hat和 j hat進行變化。此時可以說（第二次變化基於第一次），但並不能理解為，第二次的坐標軸變化順延於第一次。實際上，第二次的坐標軸是全新的，新的坐標軸再次扭曲，將舊的坐標軸扭曲的更加厲害。這樣理解會清晰一些。補充一下，這也是為什么矩陣交換計算不行，相當於中間變量會出問題，大部分情況下中間變量出了問題第二次變化除非有特殊情況才能填坑成一樣的結果。這位同學理解的中間變量，我想理解為整體基礎空間的不同，導致變化效果是不相同的，因為已經不能理解成為標准空間。