線性代數的本質(4)——矩陣乘法與復合變換

本文轉載自查看原文 2020-05-13 17:50 940 線性代數

4.1 復合變換

在矩陣與線性變換這一節內容中，我們知道了矩陣與線性變換中的對應關系，試想一下，矩陣求逆，其實也是一種變換，就是將變換后的基向量還原為初始態。

ok，做了一次變換之后仍然想做變換，如先將整個平面逆時針旋轉90度再做剪切變換，會發生什么？這樣從頭到尾的總體作用效果就是進行另外一個線性變換。我們將這個新的變換稱為兩個獨立變換的“復合變換”。

此時這個矩陣捕捉到了逆時針旋轉+剪切的總體效應，該矩陣就是一個單獨的作用，而不是兩個順序作用的合成。無論選擇什么向量，采用先旋轉后剪切變換&對應的符合變換后的作用效果是一致的，我們用數值的方式進行表達如下：

可以得出：兩個矩陣相乘，可以表示就是兩個線性變換相繼作用，需要注意的是，線性變換的作用順序是從右向左

這樣類似復合函數 $f(g(x))$ ,也是從里向外讀。

4.2 計算復合矩陣

（一）特例

我們同樣可以采用追蹤基向量的落腳點來描述及計算這個“復合變換”。

就需要我們計算出基向量 $\vec{i},\vec{j}$ 變換后的位置是什么？首先M1表示基向量經過變換后的位置。

基向量 $\vec{i}\rightarrow\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ,然后經過 $M_2$ 的變換后落在了什么位置？

基向量 $\vec{j}\rightarrow\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}$ ,然后經過 $M_2$ 的變換后落在了什么位置？

因此：

$\underbrace{\begin{bmatrix} 0&2 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{M_2}\underbrace{\begin{bmatrix} 1&-2 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{M_1}=\begin{bmatrix} 2&0\\ 1&-2 \end{bmatrix}$

這個方法具有普適性

（二）一般化計算復合矩陣

$\xrightarrow[]{A和B}\underbrace{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}}_{M_2}\underbrace{\begin{bmatrix} e&f \\ g&h \end{bmatrix}}_{M_1}=\begin{bmatrix} ea+gb&af+bh\\ec+gd & cf+dh \end{bmatrix}$

4.3復合運算的運算規律

（一）復合運算不滿足交換律，一般地， $M_2M_1\not= M_1M_2$

eg:

$\underbrace{\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}}_{\text{剪切矩陣}}\underbrace{\begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{\text{旋轉矩陣}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{\text{復合矩陣}}$

$\underbrace{\begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{bmatrix}}_{\text{旋轉矩陣}}\underbrace{\begin{bmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}}_{\text{剪切矩陣}}=\underbrace{\begin{bmatrix} 0&-1 \\ 1&1 \end{bmatrix}}_{\text{復合矩陣}}$

（二）復合運算滿足結合率，

一般地， $(AB)C=A(BC)$

從數值角度證明非常麻煩，如果我們從變換的角度來證明則變得非常顯然：

$A(BC)$ ,變換的作用順序：首先應用C變換和B變換，然后應用A變換

$(AB)C$ ,變換的作用順序：先應用C變換，然后應用B變換和A變換

4.4 三維空間中的復合變換

同樣我們只需要追蹤基向量變換后的位置即可。同樣地，三維空間中的變換由基向量 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 的落腳點完全決定,僅僅用9個數字就可以完全描述這個線性變換。對於任意向量做線性變換，仍然體現的是向量的“縮放”思想及向量相加。

$\underbrace{\begin{bmatrix} a&b &c\\ d&e&f\\g&h&k \end{bmatrix}}_{線性變換}\overbrace{\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}}^{輸入向量}=\underbrace{x\begin{bmatrix} a\\d\\g \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} b\\e\\h \end{bmatrix}+z\begin{bmatrix} c\\f\\k \end{bmatrix}}_{輸出向量}$

類似這樣的變換

$\underbrace{\begin{bmatrix} a&b &c\\ d&e&f\\g&h&k \end{bmatrix}}_{第二個變換}\overbrace{\begin{bmatrix} x&o&r \\y&p&s\\z&q&t \end{bmatrix}}^{第一個變換}$ ，在計算機圖像處理、機器人學中有這非常重要的作用。

4.5 總結

1）兩個矩陣相乘，可以表示就是兩個線性變換相繼作用

2）矩陣相乘，對應的線性變換作用順序是從右向左

3) 三維空間中的變換與二維空間中的變換類似。而三維變換在計算機圖像處理、機器人學中有着重要的作用.

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