本篇為MIT公開課——線性代數 筆記。
矩陣乘法的運算規則
1.行乘列
乘法一般性法則：行乘列得到一個數。
假設有兩個矩陣 \(A、B\) ，並且我們讓 \(A*B=C\), 可以求得矩陣 \(C\) 中 \(i\) 行 \(j\) 列元素：
\[C_{\text{ij}}=( \text{row$\_$i}\ \text{at}\ A) ( \text{column$\_$j}\ \text{at}\ B) \]
即矩陣 \(A\) 中 \(i\) 行點乘以矩陣 \(B\) 中的 \(j\) 列，就是矩陣 \(C\) 中 \(i\) 行 \(j\) 列的元素。
注意是 “行*列”。
例如
\[A=\left( \begin{array}{cccc} \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \square & \square \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots \\ \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \square & \square \\ \end{array} \right) \]
\[B=\left( \begin{array}{ccccc} \square & \square & \square & b_{14} & \square \\ \square & \square & \square & b_{24} & \square \\ \square & \square & \square & b_{34} & \square \\ \square & \square & \square & \cdots & \square \\ \end{array} \right) \]
則 矩陣 \(C\) 中 第3行4列元素為：
\[\begin{align} C_{34}&=a_{31} b_{14}+a_{32} b_{24}+a_{33} b_{34}+\cdots \text{}+a_{3 n} b_{\text{n4}}\\&=\sum _{k=1}^n a_{3 k} b_{\text{k4}} \end{align} \]
前提條件是矩陣 \(A\) 的總列數 必須和矩陣 \(B\) 中的總行數相等。
假設矩陣 \(A\) 是 \(m*n\) 矩陣，矩陣 \(B\) 是 \(n*p\) 矩陣， 那么 矩陣 \(C=A*B\)， 矩陣 \(C\) 是 \(m*p\) 矩陣。
其實很好理解，原來 矩陣\(A\) 的一行與矩陣 \(B\) 的一列的點乘，可以得到矩陣\(C\) 中的一個元素，那么 \(m\) 行乘以 \(p\) 列就可以得到 \(m*p\) 個元素，所以矩陣 \(C\) 是 \(m*p\) 矩陣。
2.矩陣列的線性組合
舉例：
\[\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]
\[A*B=C \]
矩陣 \(A\) 的所有列乘以 \(B\) 的列1得到矩陣 \(C\) 的列1，矩陣 \(A\) 乘以 \(B\) 的列2得到矩陣 \(C\) 的列2....
將矩陣乘法考慮為矩陣乘以向量，矩陣 \(B\) 可以看成 p 個單獨的列向量，只是這里排在一起。用矩陣 \(A\) 乘以每個列向量，相應得到 矩陣 \(C\) 的各列。
矩陣 \(C\) 中的各列，是矩陣 \(A\) 中各列的線性組合，矩陣 \(B\) 表示是怎么樣的線性組合。
3.矩陣行的線性組合
\[\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]
\[A*B=C \]
同樣的例子，我們從矩陣行的角度看，可以看成矩陣 \(A\) 的每一行乘以矩陣 \(B\) 所有行,可以得到相應矩陣\(C\) 的每一行。
比如矩陣 \(A\) 的第一行乘以矩陣\(B\) 的所有行，可以得到矩陣 C的第一行。
矩陣 \(C\) 中的各行，是矩陣 \(B\) 中各行的線性組合，矩陣 \(A\) 表示是怎么樣的線性組合。
4.列乘行
如果用矩陣 \(A\) 一列乘以矩陣 \(B\) 的一行，將得到一個完整的矩陣。
例如：矩陣 \(A\) 為 \(m*1\) ,矩陣\(B\) 為 \(1*p\)，
\[\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & 12 \\ 3 & 18 \\ 4 & 24 \\ \end{array} \right) \]
延申
\[\left( \begin{array}{cc} 2 & 7 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ \end{array} \right) +\left( \begin{array}{c} 7 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]
列一乘以行一，列二乘以行二，然后相加。
5.分塊乘法
我們還可以將矩陣切割成塊，對塊進行乘法。
例如：我們將方陣 \(A\) 切割成4份，方陣 \(B\) 切割成 4份。
\[\left( \begin{array}{cc} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \\ \end{array} \right).\left( \begin{array}{cc} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} A_1 B_1+A_2 B_3 & \cdots \\ \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]
逆矩陣
矩陣的逆，不一定存在。
假設矩陣 \(A\) 可逆，那么存在一個逆矩陣，我們記為 \(A^{-1}\),使得
\[A^{-1}*A=I \]
\(I\) 是單位矩陣。
注意這里只是左乘，如果 \(A\) 是方陣，就存在左乘等於右乘，即
\[A^{-1}*A=A*A^{-1}=I \]
但如果是非方陣，左乘就不等於右乘。
逆不存在的情況
舉例：
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{array} \right) \]
理由闡述可以從以下不同角度：
1）這個矩陣由於列向量在同一條直線上，所以他們的線性組合被限定在這條直線上，不存在某個逆矩陣，使得他們相乘后結果為單位矩陣。
2）從行列式角度，取行列式結果為0（后面學）
3）假設存在某個非零矩陣 \(X\) ,使得
\[A*X=0 \]
那么 \(A\) 就沒有逆矩陣。
這個例子中，我們就可以找到一個 \(X\) ,如
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]
我們可以用反證法證明：假設 \(A\) 存在逆矩陣，那么存在
\[A^{-1}*A=I \]
\[A^{-1}*A*X=0 \]
\[X=0 \]
很明顯，和前面 \(X\) 是非0矩陣矛盾。
結論：不可逆矩陣的列能通過線性組合得到0.
回歸逆存在情況
再假設一個可逆矩陣 \(A\)，使得
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]
看成列的線性組合，就是求解兩個線性方程組，
求解我們可以用“高斯-若爾當”，它能同時處理兩個方程組
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} c \\ d \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]
利用“高斯-若爾當”思想一起計算，同時考慮系數矩陣和兩個右側向量，寫出增廣矩陣，然后對其消元
\[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right) \]
第二步就是我們前面學過的高斯消元，即“向下消元”
而第三步是若爾當消元，即“向上消元”，主元是第二行第二個元素“1”.
這里我們就求出我們要的 \(A\) 的逆矩陣為：
\[\left( \begin{array}{cc} 7 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right) \]
因為：
\[E*\left[ \begin{array}{cc} A & I \\ \end{array} \right]=[I \quad E]=\left[I\quad A^{-1}\right] \]
\(E\) 表示我們引入的總的消元矩陣，最左邊就表示對增廣矩陣消元，因為\(E*A=I\) ,所以\(E\) 就是\(A\) 的逆矩陣。
以上就是求逆的方法和過程。
