線性代數之——復數矩陣

為了完整地展示線性代數，我們必須包含復數。即使矩陣是實的，特征值和特征向量也經常會是復數。

1. 虛數回顧

虛數由實部和虛部組成，虛數相加時實部和實部相加，虛部和虛部相加，虛數相乘時則利用 \(i^2=-1\)。

在虛平面，虛數 \(3+2i\) 是位於坐標 \((3, 2)\) 的一個點。復數 \(z=a+bi\) 的共軛為 \(\bar z=z^*=a-bi\)。

在極坐標下，復數則可以寫作模長和極角的形式。

兩個復數相乘是模長相乘，極角相加。

\[(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta} \]

2. 厄米特（Hermitian）矩陣和酉（Unitary）矩陣

這部分的重點可以用一句話來介紹：當你對一個復數向量或者矩陣進行轉置時，同時對它們取共軛。

為什么要這樣做呢？一個理由是復數向量長度的特殊性。針對實向量，其長度的平方為 \(x_1^2+\cdots+x_n^2\)，但復數向量長度的平方並不是 \(z_1^2+\cdots+z_n^2\)。比如 \(z=(1, i)\) 長度的平方並不是 \(1^2+i^2=0\)，而應該是 \(z\bar z=1^2+|i^2|=2\)。

我們定義一個新符號，\(\bar z^T=z^H\)，來表示向量的共軛轉置，這個符號也可以應用到矩陣中去。

同時，我們也要對向量的內積定義進行一下擴展，但內積為零仍然表明正交。

這時候，向量的順序就變得重要了。

\[\boldsymbol v^H\boldsymbol u=\bar v_1u_1+\cdots+\bar v_nu_n=(\boldsymbol u^H\boldsymbol v)^* \]

一個厄米特矩陣滿足 \(A^H=A\)，每一個實對稱矩陣都是厄米特的，因為實數的共軛還是它本身。

如果 \(A^H=A\)，\(\boldsymbol z\) 是任意向量，那么 \(\boldsymbol z^HA\boldsymbol z\) 是實數。

\[(z^HAz)^H=z^HA^Hz=z^HAz \]

來自對角線上的兩項都是實數，而來自非對角線上的兩項互為共軛，相加之后也為實數。

厄米特矩陣的每個特征值都是實數。

\[A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol z^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z^H \boldsymbol z \]

上式左邊為實數，\(\boldsymbol z^H\boldsymbol z\) 是長度的平方，是正實數，所以特征值也必須為實數。

厄米特矩陣對應於不同特征值的特征向量是正交的。

\[\tag{1}A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol y^H\boldsymbol z \]

\[\tag{2}A\boldsymbol y=\beta \boldsymbol y \to \boldsymbol z(A\boldsymbol y)^H=\boldsymbol z(\beta \boldsymbol y)^H \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\beta \boldsymbol y^H\boldsymbol z \]

比較 (1) 式和 (2) 式可得，兩式左邊相等，所以右邊應該也相等。又由於兩個特征值不一樣，所以有 \(y^H\boldsymbol z=0\)，兩個特征向量正交。

酉矩陣是一個有着標准正交列的方陣。

任意有着標准正交列的矩陣滿足 \(U^HU=I\)，如果它還是一個方陣，那么有 \(U^H=U^{-1}\)。

一個酉矩陣乘以任意向量，向量的長度保持不變。

\[\boldsymbol z^HU^HU\boldsymbol z=\boldsymbol z^H\boldsymbol z \]

而且，酉矩陣的所有特征值的絕對值都為 1。

最后，我們來總結一下實數和虛數向量以及矩陣之間的一些概念遷移。

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