線性代數-矩陣的運算

1、矩陣的加減法

定義

A = (a_ij)mxn 、B = (b_ij)mxn；是兩個同型矩陣（行數和列數分別相等），則矩陣A、B和定義為：

 只有同型矩陣才能進行加法計算

運算定律

• 交換律：A + B = B + A
• 結合律：（A + B）+ C = A + (B + C)
• A + O = A = O + A （O為零矩陣）
• A + （-A） = O （矩陣減法的定義）

設：

 則：

2、矩陣的數乘

定義

數k與矩陣A乘法定義為：

 記作：kA = (ka_ij)_mxn;

矩陣的加法和數乘運算，稱為矩陣的線性運算。

運算定律

• 結合律：(kl)A = k(lA)
• 分配律：k(A+B) = kA + kB;(k + l)A = kA + lA;
• 1A = A;0A = O

 3、乘法運算

定義

設A = (aij)mxs、B=(bij)sxn AB的乘發定義為

 注意：只有當A矩陣的列數等於B矩陣的行數，矩陣乘積AB才有意義；且乘積C矩陣的行數等於A矩陣的行數、C矩陣的列數等於B矩陣的列數。

如：A是(2x3)矩陣,B是(3x4)矩陣，則AB為(2x4)矩陣，BA無意義。

運算定律

• 矩陣乘法不滿足交換律：一般AB不等於BA，如果AB = BA，即記作A、B可交換
• AB = 0 未必 A = O或者 B = O
• 不滿足消除律，即AB = AC 未必B = C

矩陣乘法滿足下面運算律：

• 結合律：(AB)C = A(BC)
• 左分配律：A(B+C) = AB+AC
• 右分配律：(B+C)A = BA+CA
•  k(AB) = (kA)B = A(kB)
• 設A為mxs矩陣，則 I_mA = A ，AI_s = A（I為單位矩陣）
• AO=O OA=O
• A^kA^{l =} A^k+l  (A^k)^l = A^kl (kl皆為非負整數)

矩陣乘法中，單位矩陣與零矩陣，有類似於數字乘法1，0的作用。

4、矩陣的轉置

定義

mxn的矩陣A，行列交換后得到nxm的矩陣，稱為A的轉置矩陣，記作A'。

運算定律

• (A')' = A
• (A+B)' = A' + B'
• (kA') = kA'
• (AB)' = B'A'

若A' = A則稱A為對稱矩陣；顯然A為方陣。對稱矩陣主對角線對稱位置的元素分別相等。

 若A' = -A 則稱A為反對稱矩陣，反對稱矩陣必為方陣。且對角線上的元素全為0。