線性代數-方陣的逆陣

方陣的定義：對於矩陣A_mn 當m=n時，A為方陣；

逆陣定義：對於方陣A，使得AB = I = BA，則B為A的逆陣。（I為單位矩陣）

定理：

A為可逆矩陣，則其逆陣唯一，用符號A^-1表示，記作： AA^-1 = I = A^-1A。

可逆矩陣為非退化矩陣，不存在逆陣的方陣為退化矩陣。

• 1、若A可逆則，A^-1可逆 且（A^-1）^-1 = A；
• 2、若k為實數且不等於0，則kA也可逆，且 (kA)^-1 = k^-1A^-1；
• 3、若A、B為同階可逆矩陣，則AB也可逆，(AB)^-1 = B^-1A^-1；
• 4、若A可逆，則A'也可逆，(A')^-1 = (A^-1)'。

驗證1： 對於任意方陣A

根據逆陣的定義，存在矩陣B，使得AB = I 有：

 根據矩陣的乘法有:a+2b =1;c+2d = 0;3a+4b = 0,3c+4d = 1; a=-2、b=3/2、c=1、d=-1/2。即:

 則B為A 的逆陣，相同方法計算出B 的逆陣為：

 即（A^-1）^-1 = A。

 

驗證2：

對於任意方陣A 和實數k(k不等於0)，設k = 2則：

     

kA的逆陣有：

 k^-1A^-1為:

 則：(kA)^-1 = k^-1 A^-1

 

 驗證3：

設:

 

  

  

 

 

 驗證4：

 設：

    

     

即：(A')^-1 = (A^-1)'。