線性代數的本質，源視頻 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
行列式
我們已經知道了矩陣的線性變換的意義，我們這節來學習行列式。
我們現在想象一些線性變換，有一些將空間向外拉伸，有些將空間向內擠壓。
我們需要測量一個區域被拉伸或者被擠壓的程度將會很有用，更具體一點，也就是測量一個給定的區域面積增大或者減小的比例。
比如下面這樣的線性變換矩陣，將原來面積為 1 的區域變成了長度為 3 寬度為 2 的矩陣，所有原來區域的面積都變味了最初的 6 倍。
而下面這個線性變換之后，基向量對應的小方格的面積仍然不變，所以變換后的面積不變。
事實上，我們只需要計算出下面一個基本方格變化的大小，就可以推算出所有方格的面積變化，這是因為所有的網格都是平行等距分布的。
也就是說
這個特殊的縮放比例，即線性變換改變面積的比例，被稱為這個變換的行列式
如果某個圖形不是矩陣，我們只需要使用微元法分解為無數個小矩形即可。
特殊的，當一個行列式的值為 0 的時候，這個變換就將空間壓縮到了更小的維度上。
當行列式的值為負的時候，代表什么意義呢？
如果是在二維空間想象成一張紙，一個線性變換的值為負，就好像把紙翻到了另一面。我們成這樣的變換為改變了空間的定向的改變。但是此時行列式的值的絕對值仍然是線性變換改變空間面積的比例。
為什么這個值會是負數呢？
當i 和 j 逐漸靠近的時候，他們之間的面積會逐漸減小為0，而當i跑到j的右邊的時候，這個值變成負數就很自然了。
這就是在二維空間中對線性變換行列式值意義的解釋。
那么在三維空間中，我們看到的就是一個小立方體，當變換后，立方體就可以變成一個平行六面體，行列式給出的是平行六面體的體積。
在三維空間中行列式的值為負數，代表空間定向變了，而我們通常用右手坐標系和左手坐標系來代表這種變換。
這樣應該就很好理解了。
而對於行列式值的計算也就理所當然，計算出改變的面積即可。
逆矩陣
我們要通過線性變換的方式來看待逆矩陣，矩陣的秩，列空間與零空間。
矩陣能夠代表一系列含有未知數的方程，但是需要滿足以下條件：
- 在每一個方程中，所有的未知量都只有常系數，而且這些未知量之間只進行加和。
我們將每個未知數對齊，補充好為 0 的系數，此時我們就得到了線性方程組。
我們可以吧所有的方程合並成一個矩陣，分為以下三部分：
- 常系數矩陣
- 未知數向量
- 常數向量
這不僅是一種較好的書寫方式，也具有他的幾何意義：
A 代表一種線性變換，我們需要找到一個向量 x 經過 A 的變換后與向量 v 重合。
我們考慮兩種情況：
- A 行列式的值不為 0
此時我們已經知道了一個線性變換 A 以及變換后的 v 向量，我們需要將 v 向量還原到變換之前的狀態，也就是 x 向量，我們需要做出一個相反的線性變換將這個向量變為之前的狀態即可。
我們稱這個線性變換為之前線性變換 A 的逆矩陣。
例如，我們先進行一個順時針旋轉90度的線性變換，然后再進行一個逆時針旋轉90度的線性變換就可以回到之前的狀態。
當我們找到了 A 的逆矩陣，我們就可以兩邊同時乘以 A 的逆矩陣，就可以得到 x 的解。
那么我們對於當方程數目和未知數相同的一個方程組，我們基本就可以確定它存在唯一解（或者沒有解），你可以想象到旋轉之后旋轉回去的方式即可。
其實對於一個高階的方程組，只要這個變換A不將空間壓縮到一個更低的維度上，也就是行列式的值不為0，那么它就存在逆矩陣將其變回原來的向量。。
- 當A的行列式的值為0的時候
此時在而二維空間線性變換就是一條直線，我們當然不可能吧一條線“解壓縮”成一個平面。對於更高階的線性變換也是如此。
但是當一個 A 的行列式的值為 0 的時候，也有可能存在解，這是因為如果一個變換將平面變成一條直線，而這個向量 v 剛好也在這條直線上，則此時就存在無數個解（都在這條直線上）。
秩
當一個變換的結果為一條直線的時候，我們稱這個變換的秩為 1，也就是一維的。
當一個變換的結果為一個平面的時候，我們稱這個變換的秩為 2，也就是二維的。
……
由此我們得到秩代表的意義，秩代表着變換后空間的維數。
對於 2x2 的矩陣，秩的最大值為 2。但是對於一個 3x3 的矩陣，當秩為 2 的時候就代表這個矩陣被壓縮成一個平面了。
列空間與零空間
不論是一條直線，一個平面還是三維空間等，所有可能的變換的結果的集合被稱為矩陣的 列空間。
我們知道矩陣的列代表矩陣的基向量變換后到達的位置，變換后的基向量張成的空間就是列空間，換句話說，列空間就是矩陣的列所張成的空間。
更精確的秩的定義式列空間的維數，當秩達到最大時，代表列數和秩相等，稱之為滿秩（full rank）。
注意，零向量一定會被包含到向量空間中，因為零向量的位置一直不變。
對於一個滿秩變換來說，唯一能在變換后落在原點的就是零向量自身。但是對於非滿秩的矩陣來說，會有一系列的向量在變換后落在原點上（有可能是一條直線，有可能是一個平面…… ）。
變換后落在原點的向量的集合，被稱為矩陣的零空間或者核（kernel）。
對於二維線性方程組來說，零空間給出的就是這個向量方程所有可能的解！
非方陣
非方陣的幾何意義。
例如我們先來考慮一個二維向量到三維向量的變換。
和之前一樣，如果網格線保持平行且等距分布，並且原點映射為自身，就稱它為線性的。
其實也就是基向量的變化，例如
i和j 都變化了，我們只需要按照之前的變換方式就可以計算出變換后的向量了。
而這個 3x2 的矩陣，他們張成的列空間為一個過原點的平面。但是這個矩陣仍然是滿秩的。
也就是把二維空間映射到三維空間中，每個基向量在變換后都有對應的基向量。
同樣，一個 2x3 的矩陣就可以從三維空間映射到二維空間中。
一個 1x2 的矩陣就可以把平面上的點映射到了數軸上。
這樣，矩陣和行列式的理解，就更深了一步。
繼續加油。