列空間和零空間可以用來求解一個線性映射的值域以及討論線性方程組解的情況以及可逆性
0 本節用到的概念：
1 矩陣與列向量
一個矩陣乘一個列向量可以理解為這個矩陣中所有列向量的線性組合比如：
有了這個概念就可以介紹列空間了
2 矩陣的列空間
考慮線性方程組Ax=b 是否在b取任意向量的時候方程組都有解,如果不是b取哪些向量的時候方程組有解？
根據上邊的介紹我們知道矩陣乘列向量比如Ax 可以表示為組成矩陣A的列向量(這里假設為v1,...,vn)的線性組合。
根據這個可以知道只有當b是v1,...,vn的線性組合的時候Ax=b有解.而v1,...,vn的所有線性組合張成一個空間。
這個空間由矩陣的列向量張成，因此稱為該矩陣的列空間.如果把A考慮為一個線性映射T。那么這個列空間
就是b的所有可能取值，也就是T的值域。
矩陣A的列空間(column space)記做： C(A)
很明顯 C(A) = span(v1,v2,...,vn)：
3 矩陣的零空間
考慮矩陣A的列向量(v1,...,vn)他們是否是線性無關的.或者說是否存在一個列向量對張成列空間沒有貢獻:
對於Ax 可以表示為 v1x1+v2x2+,..,+vnxn 根據線性無關的定義如果v1x1+v2x2+,..,+vnxn=0的唯一解是所有的
xi都為0則v1,...,vn線性無關,也就是 Ax=0存在唯一的解 ：x為零向量。我們把所有滿足Ax=0的向量x構成的空間稱為零空間。
(i)下邊證明所有的這些x確實構成一個子空間：
如果Ax1=0，Ax2=0 , A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0; Akx1= kAx1=0;因此可知這個空間對加法和數乘封閉。
並列零向量明顯是Ax=0的解,綜上Ax=0的解構成一個子空間，稱為零空間(null space)記做N(A)
(ii)當一個矩陣的零空間只有零向量時，說明該矩陣的列向量線性無關.他們是列空間的一組基
當零空間中還有其他的元素時，說明列向量線性相關。
如何才能找出列空間的基呢？如何求矩陣的零空間？