在本系列中，我的個人見解將使用斜體標注。每篇文章的最后，我將選擇摘錄一些例題。由於文章是我獨自整理的，缺乏審閱，難免出現錯誤，如有發現歡迎在評論區中指正。
Part 1：線性映射
線性映射讓線性代數不再是靜態的一門學科，有了線性映射，線性空間中的向量就可以動起來。這一章同時也在告訴讀者，向量不只是狹義的數組。
線性映射(linear map) 從\(V\)到\(W\)的線性映射是具有下列性質的函數\(T:V\to W\)：
- 加性(additivity)：\(\forall u,v\in V\)，有\(T(u+v)=Tu+Tv\)。
- 齊性(homogeneity)：\(\forall \lambda \in\mathbb{F}\)和\(v\in V\)，有\(T(\lambda v)=\lambda (Tv)\)。
注意線性映射的加性和齊性是缺一不可的，它們並沒有相互包含的關系。
線性映射的集合 \(\mathcal L(V,W)\)代表從\(V\)到\(W\)的所有線性映射。
在\(\mathcal L(V,W)\)中，每一個線性映射\(T\)是一個集合內的元素，要搞清楚集合的基本元素是什么。
由於\(V,W\)都是線性空間，所以不可避免地要討論線性空間的維數和基。可以直觀地想象一下，如果一個線性映射\(T\)確定了集合中每一個基向量\(v_1,\cdots,v_n\)的取值，那么\(V\)中的任何向量\(v\)在\(W\)中的像\(Tv\)也隨之確定，因為\(v\)只能由\(v_1,\cdots,v_n\)唯一表示。這個性質直接引出了下面的定理。
線性映射與基 設\(v_1,\cdots,v_n\)是\(V\)的基，\(w_1,\cdots,w_n\in W\)，則存在唯一一個線性映射\(T:V\to W\)使得對任意\(j=1,\cdots,n\)，都有
這里需要先說明兩個線性映射相等指的是什么，如果兩個線性映射把任意\(V\)中的\(v\)都映射到同一個像上，就稱它們是同一個線性映射。從我們剛才的分析來看，只要兩個線性映射對所有基的成像都相同，它們就是同一個線性映射。
首先證明這樣的線性映射存在。定義\(T\)為
\[T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n, \]顯然只要取\(c_i=1\)，當\(j\ne i\)時\(c_j=0\)，就有\(Tv_j=w_j\)。下驗證\(T\in\mathcal L(V,W)\)，即滿足加性和齊性。首先\(\forall \lambda \in\mathbb{F}\)，\(v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)，有
\[T(\lambda v)=T(\lambda c_1v_1+\cdots+\lambda c_nv_n)=\lambda T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=\lambda Tv, \]另外對於\(u=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\)，有
\[T(u+v)=(a_1+c_1)Tv_1+\cdots+(a_n+c_n)Tv_n=Tu+Tv. \]這里寫得很簡略，展開以后可以立即得出，就不詳敘了。接下來要證明這樣的線性映射是唯一的，即任何\(S\in \mathcal L(V,W)\)，如果它滿足\(Sv_j=w_j\)，則\(\forall v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)，有
\[Sv=c_1Sv_1+\cdots+c_nSv_n=c_1w_1+\cdots+c_nw_n=Tv, \]故\(S=T\)。
剛才我們所構建的\(\mathcal L(V,W)\)只是一個集合，一個集合如果不具有運算，那么集合內部就沒有結構，只是一個元素的集合體。現在，我們可以給\(\mathcal L(V,W)\)內定義運算，從而使它具有更多的性質。
\(\mathcal L(V,W)\)上的加法和標量乘法：
-
定義\(S+T\)為\(V\)到\(W\)的線性映射，滿足對一切\(v\)都有
\[(S+T)v=Sv+Tv. \] -
定義\(\lambda T\)是\(V\)到\(W\)的線性映射，滿足對一切\(v\)都有
\[(\lambda T)v=\lambda (Tv). \]
這里需要思考，這樣定義出來的\(S+T\)與\(\lambda T\)是否是線性映射（實際上肯定是，但是需要驗證）。同時，要將\(\mathcal L(V,W)\)上的加法、標量乘法與線性映射的加性、齊性區分開，這兩個是完全不同的東西。
加上了定義之后，我們可以驗證\(\mathcal L(V,W)\)是一個線性空間。回顧線性空間的定義條件，加法、乘法、交換性、結合性、分配性質都是容易驗證的，乘法單位元也是顯然的，而加法單位元應該是\(0\)映射：\(\forall v,0v=0\)。要注意，這里第一個\(0\)既不是\(0\)向量，也不是標量\(0\)，而是一個線性映射：\(0\in\mathcal L(V,W)\)，它將\(v\)上的所有向量映射到\(W\)空間的加法單位元\(0\)。
線性映射的乘積(product of linear maps) 若\(L\in\mathcal L(U,V)\)，\(S\in\mathcal L(V,W)\)，則定義線性映射的乘積\(ST\)為：
注意到，如果我們把每一個線性映射看成線性空間里的一個向量，一般的向量乘積是沒有定義的，但線性映射卻可以定義乘積，這是它與一般向量的不同之處。實際上，線性映射也屬於特殊的一種函數，所以線性映射的乘積等價於函數的復合。
\(ST\)是線性映射：線性映射的乘積仍然是一個線性映射。
\(\forall u_1,u_2\in U\)，\(\lambda \in\mathbb{F}\)，
\[ST(u_1+u_2)=S[T(u_1+u_2)]=S(Tu_1+Tu_2)=STu_1+STu_2,\\ ST(\lambda u)=S[T(\lambda u)]=S[\lambda (Tu)]=\lambda S(Tu)=\lambda STu. \]故\(ST\)作為映射滿足加性和齊性，是線性映射。
我們把線性映射看成一個向量，但是相乘的兩個向量並不屬於同一個向量空間，乘出的結果也並不屬於原來兩個向量空間之一（廣義來說，即不考慮\(\mathcal L(V,V)\)的特例），所以它與線性空間中定義的加法又不屬於同一種運算類型。
線性映射乘積的代數性質 以下性質有助於對線性映射進行復合。
-
結合性(associativity)：如果以下乘積都是有意義的，則
\[(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3). \]這里\(T_1,T_2\)和\(T_3\)都是線性映射。
-
單位元(identity)：存在恆等映射\(I_V,I_W\)，使得\(\forall T\in\mathcal L(V,W)\)，
\[I_WT=TI_V=T. \]在學習的初級階段，寫出映射乘積的存在條件還是很有必要的。
-
分配性質(distributive properties)：對\(T,T_1,T_2\in\mathcal L(U,V)\)，\(S,S_1,S_2\in\mathcal L(V,W)\)，成立
\[(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T,\\ S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2. \]
一般要注意，線性映射的乘法不可交換，即對於一般函數也有\(f[g(x)]\ne g[f(x)]\)一樣。對於那些特別可交換的線性映射對，稱它們為可交換的。
結合性：\(\forall v\)，這里\(v\)落在\(L_3\)的定義域內，則
\[(T_1T_2)T_3v=(T_1T_2T_3)v=T_1(T_2T_3)v, \]故結合性成立。這里的每個等號都是基於線性映射乘法的定義的，不妨回顧一下。
單位元：\(\forall v\in V\)，
\[I_WTv=I_W(Tv)=Tv,\\ TI_V v=T(I_Vv)=Tv, \]故\(I_WT=TI_V=T\)。
分配性質：\(\forall v\in V\)，
\[(S_1+S_2)Tv=(S_1+S_2)(Tv)=S_1Tv+S_2Tv=(S_1T+S_2T)v,\\ S(T_1+T_2)v=S(T_1v+T_2v)=ST_1v+ST_2v=(ST_1+ST_2)v. \]對於第一行，第一個等號是線性映射乘法定義，第二個等號是線性映射加法定義，第三個等號是映射的線性性。對於第二行，第一個等號是線性映射加法定義，第二個等號是映射的線性性，第三個等號也是線性映射加法定義。
最后書上給出一個實用的定理，這個定理常常可以直接證明映射不是線性的。
線性映射對加法單位元 若\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(T(0)=0\)。
\[T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0), \]故\(T(0)=0\)。
Part 2：零空間與值域
可以說，本節中提到的零空間、值域、單射滿射都是彼此相連的一個整體，它們之間具有許多聯系，共同構成線性映射的結構基礎。
零空間(null space) 對於\(T\in\mathcal L(V,W)\)，\(T\)的零空間指的是\(V\)中那些被\(T\)映射為\(0\)的向量構成的集合：
零空間也被稱為核空間(kernel)。
零空間之所以能被稱為空間，是因為零空間也是一個向量空間，滿足加法與標量的封閉性。顯然，如果零空間不是線性空間，也沒有研究它的價值。
零空間是子空間 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(\mathrm{null}T\)是\(V\)的子空間。
設\(u,v\in\mathrm{null}T\)，則
\[T(u+v)=Tu+Tv=0,\quad u+v\in\mathrm{null}T. \]對於\(\lambda \in\mathbb{F}\)，有
\[T(\lambda v)=\lambda Tv=0,\quad \lambda v\in\mathrm{null}T. \]最后，由於\(T(0)=0\)，所以\(0\in\mathrm{null}T\)。向量空間的三大條件得以驗證。
單射(injective) 如果\(Tu=Tv\Leftrightarrow u=v\)，則稱\(T\in\mathcal L(V,W)\)是單射。
單射的概念很重要，聯想能夠一一確定自變量和因變量的函數——可逆函數，它與單射就很類似。
單射的等價條件 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(T\)是單射等價於\(\mathrm{null}T=\{0\}\)。
這是一個十分重要的定理。
已有\(\{0\}\subset\mathrm{null}T\)。當\(T\)是單射時，\(\forall v\in \mathrm{null}T\)，有
\[Tv=0=T0, \]結合單射性就得到\(v=0\)，即\(\mathrm{null}T= \{0\}\)。
反之，若\(\mathrm{null}T=0\)，則\(\forall u,v\in V\)，如果\(Tu=Tv\)，則
\[Tu-Tv=T(u-v)=0, \]故\(u-v=0\)，得到\(u=v\)，從而證明\(T\)是單射。
值域(range) 對於\(T\in\mathcal L(V,W)\)，稱\(V\)的值域為所有形如\(Tv(v\in V)\)的向量構成的集合，即
自然地，值域也應該是一個子空間，但注意對象不同。顯然每一個\(Tv\in W\)，所以值域是\(W\)的子空間而不是\(V\)的，這點與零空間不同。
值域是子空間 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(\mathrm{range}T\)是\(W\)的子空間。
這個證明雖然簡單，但又和零空間的有一些不同。
若\(w_1,w_2\in\mathrm{range}T\)，則\(\exists v_1,v_2\in V\)，\(Tv_1=w_1,Tv_2=w_2\)，則
\[w_1+w_2=Tv_1+Tv_2=T(v_1+v_2), \]由於\(v_1+v_2\in V\)，所以\(w_1+w_2\in \mathrm{range}T\)。同理
\[\lambda w_1=\lambda Tv_1=T(\lambda v_1)\in\mathrm{range}T, \]又因為\(T(0)=0\)，所以\(0\in\mathrm{range}T\)。向量空間的三個條件得以驗證。
滿射(surjective) 設\(T\in\mathcal L(V,W)\)，如果\(\mathrm{range}T=W\)，則稱\(T\)是滿射。
單射可以類比一一映射，滿射則相當於將映射的值域擴充滿了，二者一結合，就能得到全空間上的一一映射。
需要注意的是，如果\(W'\)是\(W\)的非平凡子空間，\(T\in\mathcal L(V,W')\)是滿的很可能不意味着\(T\in\mathcal L(V,W)\)上也是滿的，即使對\(T\)作解析延拓也不一定，這是因為\(\mathrm{range}T\)受到\(V\)的維數限制，我們可以很容易地證明這一點。
事實上，我們前面得出了單射與零空間的關系，這里得出了滿射與像空間（值域）的關系，這兩組關系在形式上對偶，不妨將\(Tu=Tv\Leftrightarrow u=v\)看作單射的衍生性質，而從零空間的角度定義它，這樣顯得更統一，不過這讓“單射”的名字沒有那么寫實了。
線性映射基本定理 設\(V\)是有限維的，\(T\in\mathcal L(V,W)\)，則\(\mathrm{range}T\)是有限維的，且
這個定理揭示了線性映射結構的本質關系——它只會造成信息的丟失，而不會造成信息的增加，因為\(T(0)=0\)，而零空間的維數就是信息丟失多少的量度。
設\(u_1,\cdots,u_m\)是\(\mathrm{null}T\)的基，則\(\dim \mathrm{null}T=m\)。這組基可以擴充成\(V\)的基：
\[u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_n,\quad \dim{V}=m+n. \]如果等式成立，則\(\dim\mathrm{range}T=n\)，自然會猜想\(Tv_1,\cdots,Tv_n\)是\(\mathrm{range}T\)的基，這包括張成性與線性無關性兩方面。
先證張成性，\(\forall v\in V\)，有
\[v=a_1u_1+\cdots+a_m u_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n, \]故
\[Tv=T\left(\sum_{j=1}^m a_ju_j+\sum_{j=1}^n b_jv_j \right)=\sum_{j=1}^nb_j Tv_j, \]因此\(Tv_1,\cdots,Tv_n\)張成\(\mathrm{range}T\)。
再證線性無關，令
\[a_1Tv_1+\cdots +a_nTv_n=0, \]則
\[T\left(\sum_{j=1}^n a_jv_j\right)=0,\quad \sum_{j=1}^n a_j v_j\in\mathrm{null}T, \]所以
\[\sum_{j=1}^n a_jv_j=\sum_{j=1}^m b_ju_m, \]移項后得到\(a_1=\cdots=a_n=b_1=\cdots=b_m=0\)，線性無關性得證。
對比線性映射基本定理與和空間維數公式的證明過程，讀者應該能捕捉到二者之間的共同點。
由線性映射基本定理，直接得到兩個推論：
- 到更小維數向量空間的線性映射不是單射。
- 到更大維數向量空間的線性映射不是滿射。
由此結論建立線性方程組求解的關系，是一個直接的推論。事實上，線性方程組的本質就是我們在例題1中提到的\(T\in\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)，\(n\)是變量個數，\(m\)是約束條件個數，在這里就不展開了。
例題
3.A部分的例題比較簡單，畢竟還是圍繞着有限維向量空間的線性映射，只要別忘了有限維向量空間的基就好。3.B部分的例題則主要圍繞着線性映射基本定理，還有一些維數的基本關系，只要會利用\(V\)和\(W\)的基構造滿足條件的線性映射（構造的存在性由“線性映射與基”結論保證），問題基本可以迎刃而解。
第一題（3.A 3） 設\(T\in\mathcal L(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m)\)，證明存在標量\(A_{j,k}\in\mathbb{F}\)，其中\(j=1,\cdots,m\)，\(k=1,\cdots,n\)，使得對任意\((x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb{F}^n\)都有
這題看起來無從入手，但是線性代數嘛，既然是有限維向量空間，那就有窮舉的機會，莽就完事了。
取\(V\)的一組自然基\(e_1,\cdots,e_n\)，它在\(T\)下必然擁有一個像，故設
\[T(e_i)=(A_{1,i},A_{2,i},\cdots,A_{m,i}), \]由於\(V\)中的每一個向量都可以被這組基線性表示，不妨設
\[v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n, \]則由\(T\)的線性性，
\[\begin{aligned} T(v)&=T(x_1e_1+\cdots+x_ne_n)\\ &=T(x_1,\cdots,x_n)\\ &=x_1T(e_1)+\cdots+x_nT(e_n)\\ &=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \end{aligned} \]由\(v\)的任意性，結論得證。
第二題（3.A 14） 設\(V\)是有限維的且\(\dim{V}\ge2\)，證明存在\(S,T\in\mathcal L(V,V)\)，使得\(ST\ne TS\)。
這題的關鍵信息在於\(\dim{V}\ge 2\)，因而可以找到兩個線性無關向量，圍繞他們進行一波構造就可以推出找到這樣的\(S,T\)。
設\(v_1,v_2\)是\(V\)中兩個線性無關的向量，因為\(\dim V\ge 2\)，所以這樣的兩個向量是可以找到的。
令
\[Tv_1=v_2,\quad Sv_1=v_1+v_2,\\ Tv_2=0,\quad Sv_2=v_1. \]則
\[STv_1=Sv_2=v_1,\\ TSv_1=T(v_1+v_2)=v_2, \]由\(v_1,v_2\)的線性無關性，得到\(STv_1\ne TSv_1\)，即\(ST\ne TS\)。
第三題（3.B 22） 設\(U,V\)都是有限維向量空間，並設\(S\in \mathcal L(V,W)\)，\(T\in\mathcal L(U,V)\)，證明：
萬變不離其宗，基擴充在證明維數不等式上依然是永遠的神。
首先要注意到\(\mathrm{null}T\subset\mathrm{null}(ST)\)。設\(u_1,\cdots,u_m\)是\(\mathrm{null}T\)的基，如果\(\mathrm{null}T=\mathrm{null}(ST)\)，則不等式已經成立。假設二者不等，則可以擴充為\(\mathrm{null}(ST)\)的基：
\[u_1,\cdots,u_m,u_{m+1},\cdots,u_{n}. \]滿足
\[Tu_{m+1}\ne 0,\cdots,Tu_n\ne 0. \]現證明\(Tu_{m+1},\cdots,Tu_n\)是線性無關的，即
\[a_{m+1}Tu_{m+1}+\cdots+a_nTu_n=T\left(\sum_{j={m+1}}^{n} a_ju_{j} \right), \]所以\(\sum_{j=m+1}^{n}a_ju_j\in\mathrm{null}T\)，即
\[\sum_{j=m+1}^n a_ju_j=\sum_{k=1}^m b_ku_k, \]移項得到\(a_{m+1}=\cdots=a_n=0\)（由於\(u_1,\cdots,u_n\)是\(\mathrm{null}(ST)\)的基），所以線性無關性得證。又因為\(\mathrm{null}S\)中線性無關組的長度中小於張成組的長度，所以
\[\dim S\ge n-m,\\ \dim\mathrm{null}(ST)=n=n-m+m\le \dim\mathrm{null}S+\dim\mathrm{null}T. \]
第四題（3.B 26、27）
1、設\(D\in\mathcal L(\mathcal P(\mathbb{R}),\mathcal P(\mathbb{R}))\)使得對每個非常數多項式\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)均有\(\mathrm{deg}(Dp)=(\mathrm{deg}p)-1\)，這里\(\mathrm{deg}\)指的是多項式的次數，證明\(D\)是滿射。
2、設\(p\in\mathcal P(\mathbb{R})\)，證明存在多項式\(q\in\mathcal P(\mathbb{R})\)使得
這題本質上和線性方程組是一樣的，但由於筆記中對線性方程組的介紹很少，因此將這個例題摘錄於此。第二問中的微分算子其實就是第一問中\(D\)的一種顯式，可以看作1中結論的直接應用。另外，看到多項式時，應當考慮多項式空間的自然基，本題的主要問題是無限維向量空間的處理。
1、由題意，\(\forall n\)，
\[\mathrm{deg}Dx^{n+1}=n, \]顯然由於\(Dx,Dx^2,\cdots\)的次數不同，它們是線性無關的，對任何一個給定的\(j\)，
\[\mathrm{span}(Dx,Dx^2,\cdots,Dx^{j+1})=\mathrm{span}(1,x,\cdots,x^j), \]因此令\(j\to \infty\)，有
\[\mathrm{span}(Dx,Dx^2,Dx^3,\cdots)=\mathrm{span}(1,x,x^2,\cdots)=\mathcal P(\mathbb{R}),\\ \mathcal P(\mathbb{R})\subset \mathrm{range}D. \]又因為對任何多項式\(p\)，\(Dp\)仍是一個多項式，所以
\[\mathrm{range}D\subset \mathcal P(\mathbb{R}), \]即\(\mathrm{range}D=\mathcal P(\mathbb{R})\)，也就是\(D\)是滿射。
2、定義降次算子為\(Dp=3p'+5p''\)，則由1，\(D\)是滿的，所以\(\forall q\in\mathcal P(\mathbb{R})\)，必定存在一個\(p\)，使得
\[Dp=5p''+3p'=q. \]