關於線性空間也叫向量空間的理解
首先,客觀上,從本質上來講線性空間就是用來研究某一類事物在矩陣代數里的抽象的表示,線性空間也就是以向量為元素的集合,所以線性空間首先滿足集合的概念和基本運算.
在集合基本運算中重點提一下笛卡爾積(叉乘),定義上講X和Y的笛卡爾積就是兩個集合中所有元素的有序對(x,y),平面就是兩個直線的卡式積.通過笛卡爾積可以從映射的角度定義一下集合的加、減和數乘,例如:
給定非空集合V和數域F,若映射σ:V×V→V,即 (V1,V2)|→σ(V1,V2)則稱σ為V上的加法,也就是從V和自己的卡式積中取出來的有序對經過映射σ后的出的元素還在V里面
若映射σ:V×F→V,即(V1,F1)|→σ(V)則稱σ為V上的乘法,也就是從V和數域F的卡式積中的有序對經過映射σ后的出的元素在V里面.繞這么多的彎就是想要在這門學科中把加減乘除理解成為一個映射.
上面又引入了一個“域”的概念,域就是在集合的基礎上要做到對加減乘除的封閉,例如自然數集N不是一個域因為他不對減法和除法封閉(1-2和3/2都不是自然數),有理數集R就是一個域對加減乘除都封閉.
所以,線性空間不僅要是向量的集合還要滿足兩個封閉性,還要滿足加法和乘法的八條公理.
加法公理:交換律、結合律、有零元、有負元.
標量乘法公理:交換律、左分配律、右分配律、有1元.(其中,左分配律是指:對於標量a,向量x,yŒV,(x+y)a=xa+ya)