自從人類有了語言，我們喜歡給每一個東西起一個適合它的名字，也就是定義。
太陽、Yuki、Yuki的寵物小魚Bong，這種定義方式具體地命名了每個唯一存在的事物，
但是有時候，教導主任忘記了眼前的學生是Yuki還是Jane，於是就喊“同學，你下課來一下我這里”；Jane超級喜歡Yuki的寵物小魚，卻也並不說Bong很可愛，而是說“Yuki，你的這些金魚真可愛！”；Yuki在跟Jane欣賞漫天星瀚的時候，也並不會說那個巴拉巴拉星好亮，而是說“夏天的星星果然是好亮啊”：這時，“同學”“金魚”和“星星”就不再是指一個事物了，它往往是一類滿足相同規則特征的事物的統稱。
類似地，在一種更抽象的語言——數學中，我們自然更靈活地使用着第二種方式。我們把同樣一類具有相同本質的東西提取出來，找到能夠最小標識它們的明顯屬性，來確定這個類的定義。同時，我們經過研究，也會發現這類事物還有其他的共同點，得到一系列推論。
當然，事物會進行operation：水從ocean蒸發成vapor，被氣流帶到陸地上空，凝結為rain和snow等落到地面，還會變成vapor，其余部分成為river，最終回歸ocean。
在水的operation中，它不管是變成了潔白無瑕的聖雪，還是變成了臟兮兮的污水，不管怎么變，它還是那個water，不多也不少。它做着符合一定規則的運算，最后得到的還是滿足定義的元素，所有這些元素組成的集合我們稱為一個空間。
線性代數研究的是線性空間下的規律，什么是線性空間？就是在某個數域下，“加法”和“數乘”運算滿足以下八個規律的元素（向量）的集合：
- α+β=β+α，對任意α，β∈V.
- (α+β)+γ=α+(β+γ)，對任意α，β，γ∈V.
- 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元素.
- 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.
- 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).
- 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
- 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
- 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ.
注意：這里的“加法”和“數乘”並不是我們認為的加法和乘法，它可以是任何一種運算；“向量”也不是初中的簡單向量，它可能是多維的，也可能它的元素根本不是一個數，而是多項式、向量、矩陣，甚至其他更復雜的東西。
在我看來，我所學習的知識空間，恰好就是一個線性空間：一個個小小的知識之間有着共同的本質，有着千絲萬縷的運算聯系。或許兩個一加，便是另一個新的知識，靠着努力拾級而上；兩個一乘，迸出躍進式的新的火花，量變就成了質變。等價的珍寶啊，完美地形成它小小的閉合世界，不僅是從此到彼，回過頭來也是一樣地正確真實。若是出現了原來沒有的新知識，便是通過增加了新的線性無關的元素，從原來的線性子空間張成了一個更大的線性子空間。若是能很好地閉合，那么空間完美和滿；若是出現缺漏，就需要找到問題的key——一個或多個基的組合，重新達到完滿。不斷地閉合而豐富，多元而嚴謹，足夠抽象神秘地誘引着我探索終身。