矩陣論練習6（線性空間的維數和基）

題目

求下列線性空間的維數，並寫出其中一個基

1. \(V=C, F=R\)
2. \(V=C, F=C\)
3. \(V=R^+, F=R\)
   3中的加法和數乘定義為 \(a,b\in V, k\in F,a\oplus b=ab, k\circ a=a^k\)

解答

1. \(V\) 維數為2，\(V\) 中任意一個元素都可以用基 \(1\), \(i\) 通過域 \(F\) 中元素線性組合表示，\(i\)表示虛數單位；

2. \(V\) 維數為1，\(V\) 中任意一個元素都可以用基 \(1\) 通過域 \(F\) 中元素線性組合表示；

3. \(V\) 維數為1，\(V\) 中任意一個元素都可以用基 \(2\) 通過域 \(F\) 中元素線性組合表示；例如要表示 \(3\) , \(k\circ 2 = 2^k = 3, k=log_23\)。注意，\(1\) 不是基，事實上，\(1\) 是該線性空間的零元，零元不可能是基。