矩阵论练习6（线性空间的维数和基）

题目

求下列线性空间的维数，并写出其中一个基

1. \(V=C, F=R\)
2. \(V=C, F=C\)
3. \(V=R^+, F=R\)
   3中的加法和数乘定义为 \(a,b\in V, k\in F,a\oplus b=ab, k\circ a=a^k\)

解答

1. \(V\) 维数为2，\(V\) 中任意一个元素都可以用基 \(1\), \(i\) 通过域 \(F\) 中元素线性组合表示，\(i\)表示虚数单位；

2. \(V\) 维数为1，\(V\) 中任意一个元素都可以用基 \(1\) 通过域 \(F\) 中元素线性组合表示；

3. \(V\) 维数为1，\(V\) 中任意一个元素都可以用基 \(2\) 通过域 \(F\) 中元素线性组合表示；例如要表示 \(3\) , \(k\circ 2 = 2^k = 3, k=log_23\)。注意，\(1\) 不是基，事实上，\(1\) 是该线性空间的零元，零元不可能是基。