设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间
定义 1:\(V\)的一个有限子集\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\}\)线性相关(无关)
\(:\Leftrightarrow\)向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)线性相关(无关)
\(V\)的一个无限子集\(S\)线性相关\(:\Leftrightarrow\)\(S\)有一个有限子集线性相关。反之,\(V\)的一个无限子集\(S\)线性无关\(:\Leftrightarrow\)\(S\)任一个有限子集线性无关。
定义 2:设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间
\(V\)的一个子集\(S\)如果满足下述两个条件:(\(S\)不一定是线性空间)
(1)\(S\)是线性无关的。
(2)\(V\)中任一向量可以由\(S\)中的有限多个向量线性表出。
则称\(S\)是\(V\)的一个基。
若\(S\)是有限集\(S = \{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\}\),则向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)是\(V\)的一个(有序)基。
规定空集\(\emptyset\)是线性无关的,因此只含零向量的线性空间,它的一个基是\(\emptyset\)。
定理 1:任何一个数域上的任一个线性空间都有一个基。
定义 3:
若\(V\)有一个基是有限子集,则称\(V\)是有限维的。
若\(V\)有一个基是无限子集,则称\(V\)是无限维的。
定理 2:若\(V\)是有限维的,则\(V\)的任意两个基所含向量的个数相等。
证明:由定义3,因为\(V\)是有限维,故存在一个基是有限的,不妨记为\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\}\),另一个基记为\(S\)。
反证法,\(S\)所含向量个数\(>n\),则\(S\)中可取\(n + 1\)个向量\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)。由基的定义,则\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性表出。又\(n+1 > n\),故\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)线性相关。因为基要求线性无关,即任一个有限子集都线性无关,矛盾,故\(S\)所含向量个数\(\leq n\)。
再设\(S = \{\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_m\}\),其中\(m \leq n\),因为基互相能够线性表出,因此两个基等价,所以\(m = n\)
推论 1:若\(V\)是无限维的,则\(V\)的任何一个基都是无限维的。
定义 4:
设\(V\)是有限维的,则把\(V\)的一个基所含向量的个数称为线性空间\(V\)的维数,记作\(\dim_K V\)或\(\dim V\)。
若\(V\)是无限维的,则把\(V\)的维数记作\(\dim V = \infty\)
\(\{\mathbf{0}\}\)的维数为\(0\)
命题 1:
若\(\dim V = n\),则\(V\)中任意\(n+1\)个向量都线性相关(根据定理2的证明个数即可得到)。
设\(\dim V = n\),取\(V\)中的一个基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\),则\(V\)中任一向量\(\alpha = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + \dots + a_n\alpha_n\),且表出方式唯一(3.2节命题1或用反证法可证)。将\((a_1, a_2, \dots ,a_n)^T\)称为\(\alpha\)在基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)下的坐标。
例:\(K^n\)中,向量组\(\epsilon_1 = (1,0,\dots ,0)^T\),\(\epsilon_2 = (0,1,\dots ,0)^T\),\(\dots\),\(\epsilon_n = (0,0,\dots ,n)^T\)是线性无关的。\(K^n\)中任一个向量\(\alpha = a_1\epsilon_1 + a_2\epsilon_2 + \dots + a_n\epsilon_n\)。因此\(\epsilon_1, \epsilon_2, \dots ,\epsilon_n\)是\(K^n\)中的一个基,称为标准基。\(\alpha\)的坐标是系数组成的列向量。
命题 2:设\(\dim V = n\),则\(V\)中任意\(n\)个线性无关的向量都是\(V\)的一个基。
证明:设\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性无关,任取\(\beta \in V\),根据命题1,任意\(n+1\)个向量线性相关,即\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n,\beta\)线性相关,又\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性无关。由3.2节命题2,\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性表出。因此\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)是一个基。
命题 3:设\(\dim V = n\),若\(V\)中每个向量可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性表出,则\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)是一个基。
证明:取\(V\)的一个基\(\delta_1, \delta_2,\dots ,\delta_n\)。由条件,\(\delta_1, \delta_2,\dots ,\delta_n\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性表出。故\(rank\{\delta_1, \delta_2,\dots ,\delta_n\} \leq rank\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\} \leq n\)。又\(\delta_1, \delta_2,\dots ,\delta_n\)是线性无关的,故其秩为\(n\)。所以,\(rank\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\} = n\),从而\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性无关。从而,\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)是\(V\)的一个基。
命题 4:设\(\dim V = n\),则\(V\)中任意一个线性无关的向量组可以扩充成\(V\)的一个基。
证明:设\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)线性无关
若\(s = n\),则\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)就是\(V\)的一个基。
若\(s < n\),则\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)不是\(V\)的一个基,故\(V\)中有向量\(\beta_1\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)线性表出。故向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s,\beta_1\)线性无关。
若\(s + 1 < n\),依次下去,得到\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_r\)线性无关,是\(V\)的一个基。
命题 5:设\(\dim V = n\),\(W\)是\(V\)的一个子空间,则\(\dim W \leq \dim V\)
证明:\(W\)中的一个基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m\)可以扩充成\(V\)的一个基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m,\alpha_{m+1},\dots ,\alpha_n\),故\(\dim W \leq \dim V\)。
推论:若\(\dim W = \dim V = n\),则\(W = V\)
证明:\(W\)中的一个基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)也是\(V\)的一个基,故\(V\)中的任一向量\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)线性表出,又\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)均属于\(W\),则\(\beta = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + \dots + a_n\alpha_n \in W\),即\(V \subset W\)。又\(W\)是\(V\)的子集,故\(W = V\)。
定义 5:设\(V\)是数域\(K\)上的线性空间
\(V\)的一个子集\(S\)如果满足:
(1)\(S\)是线性无关的。
(2)对于\(\beta \notin S\)(若存在的话),有\(S \cup \{\beta \}\)
那么\(S\)是\(V\)的一个极大线性无关集。
若\(S\)是\(V\)的一个基\(\Rightarrow\)\(S\)是\(V\)的一个极大线性无关集。
当\(V \neq \{\mathbf{0}\}\)时,\(S\)是\(V\)的一个极大线性无关集。
对\(V = \{\mathbf{0}\}\),\(\emptyset\)满足定义5的条件1,\(\emptyset \cup \{\mathbf{0}\} = \{\mathbf{0}\}\)线性相关,故\(\emptyset\)是\(\{\mathbf{0}\}\)的一个极大线性无关集,所以规定\(\{\mathbf{0}\}\)的基为\(\emptyset\)
命题 6:\(<\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s> = \{k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s|k_1,k_2,\dots ,k_s \in K\}\)。\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)又可以由其极大线性无关组线性表出,故\(<\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s>\)可由极大线性无关组线性表出,则\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)的一个极大线性无关组是\(<\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s>\)的一个基,从而\(\dim <\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s> = rank\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\}\)。
命题 7:若\(<\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s> = <\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_s> \Leftrightarrow \{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\} \cong \{\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_s\}\)
例:设\(r < n\),在\(K^n\)中,令\(U = \{(a_1, a_2, \dots ,a_r, 0, \dots ,0)'|a_i \in K, i = 1, 2, \dots ,r\}\)。求子空间\(U\)的一个基和维数。
解:\(U\)中任一向量\(\alpha = (a_1, a_2, \dots ,a_r, 0, \dots ,0)'\)可以表示为\(\alpha = a_1\epsilon_1 + a_2\epsilon_2 + \dots + a_r\epsilon_r\)。其中,\(\epsilon_1 = (1, 0, 0, \dots ,0, 0, \dots ,0)'\),\(\epsilon_2 = (0, 1, 0, \dots ,0, 0, \dots ,0)'\),\(\dots\),\(\epsilon_r = (0, 0, 0, \dots ,1, 0, \dots ,0)'\)。
由于\(\epsilon_1,\epsilon_2,\dots ,\epsilon_n\)线性无关,因此其部分组\(\epsilon_1,\epsilon_2,\dots ,\epsilon_r\)也线性无关,从而\(\epsilon_1,\epsilon_2,\dots ,\epsilon_r\)是\(U\)的一个基,故\(\dim U = r\)。