設\(V\)是數域\(K\)上的線性空間
定義 1：\(V\)的一個有限子集\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\}\)線性相關（無關）
\(:\Leftrightarrow\)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)線性相關（無關）
\(V\)的一個無限子集\(S\)線性相關\(:\Leftrightarrow\)\(S\)有一個有限子集線性相關。反之，\(V\)的一個無限子集\(S\)線性無關\(:\Leftrightarrow\)\(S\)任一個有限子集線性無關。
定義 2：設\(V\)是數域\(K\)上的線性空間
\(V\)的一個子集\(S\)如果滿足下述兩個條件：（\(S\)不一定是線性空間）
（1）\(S\)是線性無關的。
（2）\(V\)中任一向量可以由\(S\)中的有限多個向量線性表出。
則稱\(S\)是\(V\)的一個基。
若\(S\)是有限集\(S = \{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\}\)，則向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)是\(V\)的一個（有序）基。
規定空集\(\emptyset\)是線性無關的，因此只含零向量的線性空間，它的一個基是\(\emptyset\)。
定理 1：任何一個數域上的任一個線性空間都有一個基。
定義 3：
若\(V\)有一個基是有限子集，則稱\(V\)是有限維的。
若\(V\)有一個基是無限子集，則稱\(V\)是無限維的。
定理 2：若\(V\)是有限維的，則\(V\)的任意兩個基所含向量的個數相等。
證明：由定義3，因為\(V\)是有限維，故存在一個基是有限的，不妨記為\(\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\}\)，另一個基記為\(S\)。
反證法，\(S\)所含向量個數\(>n\)，則\(S\)中可取\(n + 1\)個向量\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)。由基的定義，則\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性表出。又\(n+1 > n\)，故\(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_{n+1}\)線性相關。因為基要求線性無關，即任一個有限子集都線性無關，矛盾，故\(S\)所含向量個數\(\leq n\)。
再設\(S = \{\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_m\}\)，其中\(m \leq n\)，因為基互相能夠線性表出，因此兩個基等價，所以\(m = n\)
推論 1：若\(V\)是無限維的，則\(V\)的任何一個基都是無限維的。
定義 4：
設\(V\)是有限維的，則把\(V\)的一個基所含向量的個數稱為線性空間\(V\)的維數，記作\(\dim_K V\)或\(\dim V\)。
若\(V\)是無限維的，則把\(V\)的維數記作\(\dim V = \infty\)
\(\{\mathbf{0}\}\)的維數為\(0\)
命題 1：
若\(\dim V = n\)，則\(V\)中任意\(n+1\)個向量都線性相關（根據定理2的證明個數即可得到）。
設\(\dim V = n\)，取\(V\)中的一個基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)，則\(V\)中任一向量\(\alpha = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + \dots + a_n\alpha_n\)，且表出方式唯一（3.2節命題1或用反證法可證）。將\((a_1, a_2, \dots ,a_n)^T\)稱為\(\alpha\)在基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)下的坐標。
例：\(K^n\)中，向量組\(\epsilon_1 = (1,0,\dots ,0)^T\)，\(\epsilon_2 = (0,1,\dots ,0)^T\)，\(\dots\)，\(\epsilon_n = (0,0,\dots ,n)^T\)是線性無關的。\(K^n\)中任一個向量\(\alpha = a_1\epsilon_1 + a_2\epsilon_2 + \dots + a_n\epsilon_n\)。因此\(\epsilon_1, \epsilon_2, \dots ,\epsilon_n\)是\(K^n\)中的一個基，稱為標准基。\(\alpha\)的坐標是系數組成的列向量。
命題 2：設\(\dim V = n\)，則\(V\)中任意\(n\)個線性無關的向量都是\(V\)的一個基。
證明：設\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性無關，任取\(\beta \in V\)，根據命題1，任意\(n+1\)個向量線性相關，即\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n,\beta\)線性相關，又\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性無關。由3.2節命題2，\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性表出。因此\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)是一個基。
命題 3：設\(\dim V = n\)，若\(V\)中每個向量可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性表出，則\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)是一個基。
證明：取\(V\)的一個基\(\delta_1, \delta_2,\dots ,\delta_n\)。由條件，\(\delta_1, \delta_2,\dots ,\delta_n\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性表出。故\(rank\{\delta_1, \delta_2,\dots ,\delta_n\} \leq rank\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\} \leq n\)。又\(\delta_1, \delta_2,\dots ,\delta_n\)是線性無關的，故其秩為\(n\)。所以，\(rank\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\} = n\)，從而\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性無關。從而，\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)是\(V\)的一個基。
命題 4：設\(\dim V = n\)，則\(V\)中任意一個線性無關的向量組可以擴充成\(V\)的一個基。
證明：設\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)線性無關
若\(s = n\)，則\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)就是\(V\)的一個基。
若\(s < n\)，則\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)不是\(V\)的一個基，故\(V\)中有向量\(\beta_1\)不能由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)線性表出。故向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s,\beta_1\)線性無關。
若\(s + 1 < n\)，依次下去，得到\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_r\)線性無關，是\(V\)的一個基。
命題 5：設\(\dim V = n\)，\(W\)是\(V\)的一個子空間，則\(\dim W \leq \dim V\)
證明：\(W\)中的一個基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m\)可以擴充成\(V\)的一個基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m,\alpha_{m+1},\dots ,\alpha_n\)，故\(\dim W \leq \dim V\)。
推論：若\(\dim W = \dim V = n\)，則\(W = V\)
證明：\(W\)中的一個基\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)也是\(V\)的一個基，故\(V\)中的任一向量\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)線性表出，又\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\)均屬於\(W\)，則\(\beta = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + \dots + a_n\alpha_n \in W\)，即\(V \subset W\)。又\(W\)是\(V\)的子集，故\(W = V\)。
定義 5：設\(V\)是數域\(K\)上的線性空間
\(V\)的一個子集\(S\)如果滿足：
（1）\(S\)是線性無關的。
（2）對於\(\beta \notin S\)（若存在的話），有\(S \cup \{\beta \}\)
那么\(S\)是\(V\)的一個極大線性無關集。
若\(S\)是\(V\)的一個基\(\Rightarrow\)\(S\)是\(V\)的一個極大線性無關集。
當\(V \neq \{\mathbf{0}\}\)時，\(S\)是\(V\)的一個極大線性無關集。
對\(V = \{\mathbf{0}\}\)，\(\emptyset\)滿足定義5的條件1，\(\emptyset \cup \{\mathbf{0}\} = \{\mathbf{0}\}\)線性相關，故\(\emptyset\)是\(\{\mathbf{0}\}\)的一個極大線性無關集，所以規定\(\{\mathbf{0}\}\)的基為\(\emptyset\)
命題 6：\(<\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s> = \{k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_s\alpha_s|k_1,k_2,\dots ,k_s \in K\}\)。\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)又可以由其極大線性無關組線性表出，故\(<\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s>\)可由極大線性無關組線性表出，則\(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\)的一個極大線性無關組是\(<\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s>\)的一個基，從而\(\dim <\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s> = rank\{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\}\)。
命題 7：若\(<\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s> = <\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_s> \Leftrightarrow \{\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_s\} \cong \{\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_s\}\)
例：設\(r < n\)，在\(K^n\)中，令\(U = \{(a_1, a_2, \dots ,a_r, 0, \dots ,0)'|a_i \in K, i = 1, 2, \dots ,r\}\)。求子空間\(U\)的一個基和維數。
解：\(U\)中任一向量\(\alpha = (a_1, a_2, \dots ,a_r, 0, \dots ,0)'\)可以表示為\(\alpha = a_1\epsilon_1 + a_2\epsilon_2 + \dots + a_r\epsilon_r\)。其中，\(\epsilon_1 = (1, 0, 0, \dots ,0, 0, \dots ,0)'\)，\(\epsilon_2 = (0, 1, 0, \dots ,0, 0, \dots ,0)'\)，\(\dots\)，\(\epsilon_r = (0, 0, 0, \dots ,1, 0, \dots ,0)'\)。
由於\(\epsilon_1,\epsilon_2,\dots ,\epsilon_n\)線性無關，因此其部分組\(\epsilon_1,\epsilon_2,\dots ,\epsilon_r\)也線性無關，從而\(\epsilon_1,\epsilon_2,\dots ,\epsilon_r\)是\(U\)的一個基，故\(\dim U = r\)。