空間定義： 向量空間是由向量組成的集合，有兩個基本的運算，向量加法，以及標量乘法，有以下公理：
1、u + v = v + u
2、 u + (v +m ) = (u + v) +m
u ,m , v 均為向量
3、 c(v + m) = cv + cm
4、(c + d) * m = cm + dm
5、c*(d*v) = (c* d) * v
其中，c ,d 為標量，v , m 為向量
子空間的定義： 向量空間 V 的子空間 H 是向量空間 V 的一個子集，並且滿足三條性質：
1、V 中的零向量在 空間 H 中
2、H 對向量加法封閉，即 對於 H 中的任意向量， u,v , u + v 仍然在 H 中
3、H 標量乘法封閉，即對於 H 中的任意向量, v 以及任意標量 c , 向量 cv 仍然在 空間 H 中
例子： 向量空間 R^2, 是否是向量空間 R^3 的一個子空間？
不是， 因為，R^2中的向量只有兩個元素，而R^3中的向量有三個元素，不滿足定義1，即 R^3 的零向量 [0,0,0], 不在 R^2 中。 但是 集合 H = { [s,t,0] : s,t 是實數} 則是 R^3 的一個子空間， 因為 滿足 定義中的三個條件。