線性映射的性質
假設 \(f:V\rightarrow U\) 是線性映射，則：
- \(f(\theta)=\theta\), \(\theta\) 代表 \(0\)
- 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V, k_1,k_2,\cdots, k_s\in F\)，則 \(f(\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i) =\sum_{i=1}^sk_i f(\alpha_i)\)
- 若 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V\) 線性相關，則 \(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_s)\in U\) 線性相關
- 若 \(V=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\)，則 \(f\) 的值域 \(f(V)=L(f(\alpha_1),f(\alpha_2),\cdots,f(\alpha_s))\); \(L\) 表示里面元素張成的子空間
- \(f^{-1}(\theta)=\{x\in V|f(x)=\theta\}\) 是 \(V\) 的子空間，稱為 \(f\) 的核子空間
題目
設 \(A\in F^{s\times n}\)，求線性映射 \(f\) 的值域及核子空間的基和維數，其中： \(f:F^n \rightarrow F^s\) 定義為：\(f(x)=Ax, \forall x\in F^s\).
解答
\(f\) 的定義域為 \(F^n = L(e_1,e_2,\cdots,e_n)\) ，則值域為 \(f(F^n)=L(f(e_1),\cdots,f(e_n))\) 。
把 \(A\) 寫成 \(A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\) 的形式，則 \(Ae_j = \alpha_j\) 。
所以 \(f(F^n)=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)。其基即是 \(A\) 中的一個極大無關組，維數等於 \(A\) 的列向量中的極大無關組的組數，也等於 \(A\) 的秩 \(R(A)\)。
\(f\) 的核子空間 \(f^{-1}(\theta)=\{x|f(x)=\theta\}=\{x|Ax=\theta\}\)，這個空間的基即是 \(Ax=\theta\) 的基礎解系，其維數為 \(n-R(A)\)。