本篇為MIT公開課——線性代數 筆記。
假設有一個\(m*n\)矩陣 \(A\) ，\(n>m\) ,並准備求解 \(Ax=0\)。未知數個數大於方程個數。前面已經學過這個算法。
線性相關性
定義：
除了系數全部為零，如果不存在結果為零向量的組合，則向量組線性無關。即
這個定義並不是只在矩陣里面，向量里面同樣適用，在矩陣里面，我們不說矩陣線性相關/無關，而是說矩陣里面的向量組線性相關/無關。
舉例：
假設有矩陣 \(A\) ，她的列向量為 \(v_1,v_2,v_3...v_n\) ：
1）如果列向量組線性無關，那么 \(Ax=0\) 的零空間只有零向量，秩 \(rank=n\) ，沒有自由變量
2）如果列向量組線性相關，那么\(Ax=0\) 的零空間除了零向量，存在非零向量，秩 \(rank<n\) ，有自由變量。
張成空間
定義：設有向量組 \(v_1,v_2,v_3...v_n\) ，這個向量組所有的線性組合稱為張成一個空間。
與矩陣列空間的定義一樣，矩陣各列所有的線性組合構成列空間。
基
向量空間中的一組"基" 是指這一個向量組 \(v_1,v_2,v_3...v_d\) 同時具有這兩個性質：
1）她們都是線性無關；
2）她們張成整個空間。
基具有重要意義，當需要確定一個子空間的時候，只需要確定子空間的基即可，因為她們所有的線性組合就是該子空間。
舉例：
在 \(R^3\) 中：
一組基是 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)，\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)，\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\) ，她不是唯一一組基，但足夠了。
她們構成一個矩陣的列，可以表示為一個單位陣。單位陣的零空間只有零向量。
另一組 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)\),\(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)\),她不是 \(R^3\) 的基，但她滿足線性無關，是\(R^3\) 中一個平面的基。
這些列構成的矩陣 \(A\)，必須滿足可逆，因為可逆意味着，不存在一個非零矩陣，使得 \(Ax=0\)，零空間只有零向量，滿足線性無關。
也可以看出，雖然基有很多組，但對於\(R^n\) 空間，基向量個數就是 \(n\) 個。對於給定空間，基向量的個數相等。
維數
基向量個數即為空間的維數。
維數定理
矩陣 \(A\)
矩陣 \(A\) 列的所有線性組合可以構成列空間 \(C(A)\).
但她們不是 列空間 \(C(A)\) 的基，因為前三列線性相關，零空間矩陣存在非零向量，比如 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\) .
我們可以找出 \(C(A)\) 的一組基，最明顯的就是 \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right)\) .她們就是主列，主列可以構成列空間最明顯的一組基。
\(C(A)\) 的秩為2.
定理：
矩陣秩的個數就是矩陣張成列空間的維數。
那么零空間的維數是多少？
定理：
零空間的維數是自由變量的個數。
這兩個定理就是維數定理。