1. 線性相關性
矩陣 \(A\) 的列是線性不相關的當且僅當 \(Ax=\boldsymbol0\) 的唯一解是 \(x=\boldsymbol0\)。沒有其它的線性組合能給出零向量。
在三維空間中，如果三個向量 \(v_1, v_2, v_3\) 不在同一個平面中，那它們就是不相關的，只有 \(0v_1+0v_2+0v_3\) 能給出零向量。如果三個向量 \(v_1, v_2, v_3\) 位於同一個平面中，那它們就是相關的。
一系列向量 \(v_1, v_2\cdots v_n\) 是線性不相關的當且僅當給出零向量的唯一線性組合是 \(0v_1+0v_2\cdots +0v_n\)。
如果一個線性組合給出零向量，但不是所有的系數都為零，那么它們就是相關的。
矩陣 \(A\) 的列是線性不相關的當且僅當其秩 \(r=n\)。這時候有 \(n\) 個主元沒有自由變量，零空間中只有一個零向量。
假設在一個矩陣有 5 列，每一列都屬於 \(R^3\)，那它們肯定是線性相關的。因為矩陣最多有 3 個主元，那就意味着至少有 5-3=2 個自由變量。
如果 \(n>m\)，那么在 \(R^m\) 中的 \(n\) 個向量一定是線性相關的。
一系列向量可以擴充出（span）一個空間如果它們的線性組合填滿了這個空間。列空間就是所有的列擴充出的子空間。
行空間是由矩陣的行擴充出的子空間，\(A\) 的行空間稱為 \(C(A^T)\)，它是 \(A^T\) 的列空間。
2. 基
兩個向量不能擴充出 \(R^3\) 空間，即使它們是不相關的。四個向量如果只擴充出了 \(R^3\) 空間，那它們肯定是不是不相關的。我們需要足夠的向量來擴充出一個空間，而基就剛剛好。
一個向量空間的基是一組向量，並且滿足：它們都是線性不相關的並且它們能擴充出這個空間。
這個空間中的任何向量都可以表示為這些基的線性組合，而且是唯一的線性組合。
向量 \(v_1, v_2\cdots v_n\) 是 \(R^n\) 的一個基當且僅當它們是一個 \(n*n\) 的可逆矩陣的列。因此， \(R^n\) 可能有無窮多個基。
矩陣 \(A\) 和 \(R\) 的行空間是一樣的，主行是行空間的一個基；矩陣 \(A\) 和 \(R\) 的列空間是不一樣的，但它們的維數是一樣的。
3. 維數
一個向量空間的所有基都包含相同數量的向量，基中向量的個數，稱為空間的維數。
假設 \(v_1, v_2\cdots v_m\) 和 \(w_1, w_2\cdots w_n\) 都是同一個向量空間的基，那么一定有 \(m=n\)。
如果 \(m \not = n\)，我們假設 \(n>m\)，因為 \(v_1, v_2\cdots v_n\) 是其中一個基，那么 \(w_1, w_2\cdots w_m\) 就都可以表示成它們的線性組合。
我們不知道每一個系數 \(a_{ij}\) 的值，但我們知道矩陣 \(A\) 的大小為 \(m×n\)，因此 \(VAx = 0\) 也就有非零解，也就是 \(Wx = 0\) 有非零解，這就是說 \(w_1, w_2\cdots w_n\) 是線性相關的，它們不可能是一個基。
同理，我們也可以證明 \(m>n\) 是不可能的，因此一定有 \(m=n\)。
一個空間的維數就是每個基中向量的個數。
3. 矩陣空間和函數空間
相關性、基和維數不僅僅局限於向量空間，也適用於矩陣空間和函數空間。
一個包含所有 2×2 矩陣的向量空間，它的維數是 4。
這些矩陣是線性不相關的，我們不僅僅是看它們的列，而是將整個矩陣看作是一個“向量”。
只有當 \(c_1 = c_2=c_3=c_4=0\) 時，矩陣才全為零，這也進一步驗證了它們是不相關的。
二階線性微分方程的解空間維數為 2。
空間 \(\boldsymbol Z\) 僅僅包含零向量，它的維數為 0，不包含任何向量的空集是它的一個基。任何基中都不能包含零向量，因為這會破壞線性不相關性。
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