1. 恆等變換
現在讓我們來找到這個特殊無聊的變換 \(T(\boldsymbol v)=\boldsymbol v\) 對應的矩陣。這個恆等變換什么都沒有做，對應的矩陣是恆等矩陣，如果輸出的基和輸入的基一樣的話。
如果 \(T(\boldsymbol v_j)=\boldsymbol v_j = \boldsymbol w_j\)，那么變換矩陣就是 \(I\)。
但是，如果基底不一樣的話，那么 \(T(\boldsymbol v_1)=\boldsymbol v_1\) 將會是 \(\boldsymbol w\) 的組合 \(m_{11}\boldsymbol w_1+\cdots+m_{n1}\boldsymbol w_n\)，組合系數也就是矩陣 \(M\) 的第一列。
變換前后基改變了但向量本身並沒有變，當輸入和輸出的基不一樣的時候，變換矩陣就不是恆等矩陣了。
2. 小波變換=改變到小波基底
小波具有不同的長度並且位於不同的地方，第一個基向量其實不是小波，它是一個非常有用的常向量。下面是一個小波的例子：
這些向量是正交的，非常好。可以看到，\(\boldsymbol w_3\) 定位於前一半，而 \(\boldsymbol w_4\) 定位於后一半。小波變換旨在找到一組系數 \(c_1, c_2, c_3, c_4\) 來用小波基向量表示輸入信號 \(v=(v_1, v_2, v_3, v_4)\)。
系數 \(c_1\) 代表均值，而系數 \(c_3\) 和 \(c_4\) 分別告訴我們前一半和后一半的詳細信息。為什么我們要改變基向量呢？可以認為 \(v_1, v_2, v_3, v_4\) 是信號的強度，當然 4 是非常小的一個數字，實際上可能有 \(n=10,000\)。我們想要壓縮這個信號，只保留最大 5% 的系數，這樣就能做到 20:1 的壓縮比。
如果我們保留標准基下系數的 5%，我們就會丟失掉信號的 95%。但是，如果我們選擇一組更好的基底，5% 的基向量就能恢復到和原始信號非常接近。在圖像處理和音頻編碼領域，你根本看不出聽不出區別來，我們根本不需要其它的 95%。
在線性代數里，一切都是完美的，我們省略壓縮的步驟。輸出 \(\hat {\boldsymbol v}\) 和輸入 \(\boldsymbol v\) 一模一樣，變換得到 \(c=W^{-1}\boldsymbol v\)，重建過程則將我們帶回到原點 \(\boldsymbol v=Wc\)。在真正的信號處理領域，沒有什么是完美的但一切都很快，無損失的變換和只丟失不必要信息的壓縮過程是成功的關鍵，我們有 \(\hat {\boldsymbol v}=W\hat c\)。
3. 傅里葉變換=改變到傅里葉基底
一個電氣工程師對一個信號做的第一件事就是求它的傅里葉變換。針對有限的向量，我們要討論的是離散傅里葉變換。離散傅里葉變換涉及到復數，但如果我們選擇 \(n=4\)，矩陣非常小並且僅有的復數是 \(i\) 和 \(i^3=-i\)。
第一列仍然是常向量，代表信號均值或者直流分量。是一個頻率為零的波，第三列則以最高的頻率改變。傅里葉變換將信號分解成等間隔頻率的波。傅里葉矩陣絕對是數學、科學和工程學領域最重要的復數矩陣，快速傅里葉變化通過加速傅里葉變化的過程，徹底改變了工業界。漂亮的是傅里葉矩陣和其逆矩陣非常像，改變一下符號即可。
4. 一點備忘
假設第一組基為 \(\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n\)，第二組基為 \(\boldsymbol w_1, \cdots, \boldsymbol w_n\)，由 \(V\to W\) 的基變換矩陣為 \(M\)，那么我們有：
一個向量 \(\boldsymbol s\) 在 \(V\) 和 \(W\) 下的坐標分別為 \(\boldsymbol x\) 和 \(\boldsymbol y\)，那么我們有：
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