線性代數——矩陣的初等變換

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矩陣的初等變換

矩陣的初等變換分為初等行變換和初等列變換
初等變換矩陣與矩陣之間用箭頭連接，不能用等號

初等行變換

• 交換兩行
• 用k(k≠0)乘以某一行
• 某一行的1倍加到某一行上去

定理1
任何矩陣都可通過初等變換化為標准形(行變換和列變換都可以)

等價:A經初等變換得到B，叫做A等價於B，記作

等價的性質

初等方陣

初等方陣:對單位陣E做一個初等變換得到的矩陣就是初等方陣 。

1. 初等方陣均可逆
2. 其逆矩陣也是初等方陣。
3. 初等方陣的轉置也是初等方陣。

初等方陣:

1. 交換第i,j行，記作E(i,j)，行列式等於-1，逆矩陣為E(i,j)
2. 用k(k≠0)乘某行，記作E(i(k)),k≠0，行列式等於k，逆矩陣為E(i(1/k))
3. 將第j行的l倍，加到第i行，記作E(i,j(k))，行列式等於1，逆矩陣為E(i,j(-l))

定理2:設A是任意矩陣，用第i種初等方陣左(右)乘A，相當與對A實施第i中行(列)變換。

定理3:任意矩陣A都存在初等方陣p1,p1···ps,Q1,Q2,···,Qt，使得ps,···,p1AQ1,···,Qt為A的標准形。
推論:如果A,B等價，則存在可逆矩陣p、Q，使得PAQ=B

定理4:A可逆的充分必要條件是A的標准形為E。
定理5:A可逆的充要條件是A可以表示成一些初等方陣的乘積。

初等行變換法求逆矩陣

注意事項:

1. 先第一列，在第二列···，以此類推
2. 寫整行，對整行操作
3. 第一列處理后，第一行不在主動變換
4. 做變換時矩陣與矩陣用箭頭連接
5. 只做初等行變換
6. 不管是否可逆，如果左邊化不成單位陣，那么該矩陣不可逆。

矩陣的秩

一個矩陣，任取k行k列所組成的k階行列式就是k階子式
矩陣的秩: 一個矩陣A的非零子式的最高階數k就是矩陣的秩，表示為r(A)=k

對於一個矩陣Am×n，0 ≤ r(A) ≤ min{m,n}

r(A)=m，取所有的行，稱之為行滿秩
r(A)=n，取所有的列，稱之為列滿秩
如果是行滿秩或者列滿秩，我們統稱為滿秩

如果r(A)<min{m,n}，那么就稱之為降秩

如果A是方陣，A滿秩的充分必要條件是A可逆

定理1: r(A)=r的充要條件是有一個r階子式不為0，而所有的r+1階子式全為0

階梯形:

1. 若有零行，零行在非零行的下邊
2. 自上而下，左起第一個非零元素稱為首非零元，首非零元左邊零的個數隨行數增加而嚴格增加

行簡化階梯形*

1. 階梯形
2. 非零行的首非零元是1
3. 首非零元所在的列的其余元素是0

如何判斷是否為行簡化階梯形

1. 畫折線(判斷是否為階梯形)
2. 判斷非零行的首非零元是否為1
3. 判斷非零行的首非零元所在的行的 其他元素是否為0

一般地，階梯形矩陣的秩等於非零行的行數

初等變換不改變矩陣的秩

例：

秩的性質

性質1:
性質2: 任意矩陣乘以可逆矩陣，他的秩不變
性質3: 矩陣A為m×n的方陣，P為m階可逆方陣，Q為n階可逆方陣，r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)