定義1:三種初等變換：
（i）對換兩行（對換 i，j兩行，記作 ri ↔ rj）；
（ii）以數 k≠0 乘某一行中的所有元（第i行乘 k，記作 ri×k）；
（iii）把某一行所有元的 k 倍加到另一行對應的元上去（第j 行的 k 倍加到第i行上，記作 ri +krj）
把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號是把 “r”換成“c”）.
矩陣的初等行變換與初等列變換，統稱初等變換
如果矩陣 A 經有限次初等行變換變成矩陣 B，就稱矩陣 A 與 B 行等價，記 作 
；如果矩陣 A 經有限次初等列變換變成矩陣 B，就稱矩陣 A 與 B 列等 價，記作
；如果矩陣A經有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作 A ～B.
矩陣之間的等價關系具有下列性質：
（i）反身性 A ～A；
（ii）對稱性 若 A～B，則 B～A；
（iii）傳遞性 若 A ～B，B～C，則 A ～C
行階梯形矩陣
矩陣 B4 和 B5 的特點是：都可畫出一條從第一行某元左方的豎線開始到最 后一列某元下方的橫線結束的階梯線，它的左下方的元全為 0；每段豎線的高度 為一行，豎線的右方的第一個元為非零元，稱為該非零行的首非零元.具有這樣 特點的矩陣稱為行階梯形矩陣.為明確起見給出如下定義：
定義2 （1）非零矩陣若滿足
（i）非零行在零行的上面；
（ii）非零行的首非 零元所在列在上一行（如果存在的話）的首非零元所在列的右面，則稱此矩陣為 行階梯形矩陣
行最簡形矩陣
進一步，若 A 是行階梯形矩陣，並且還滿足：（i）非零行的首非零元為 1；（ii）首非零元所在的列的其他元均為 0，則稱 A 為行最簡形矩陣
基本的性質
