關於矩陣求逆和初等變換的一些理解

本文轉載自查看原文 2019-12-24 20:36 2002 線性代數

初等矩陣：由單位矩陣E經過一次初等變換而得到的矩陣。

初等矩陣有三類，以對E變換為例：

第一類初等矩陣：對調E的兩行(列)，記作 $E_{ij}$

第二類初等矩陣：數k(k!=0)乘E的第i行(列)，記作 E_i(k)

第三類初等矩陣：以數k乘E的第j行(i列)加到第i行(j列)，記作 $E_{ij}(k)$

接下來，我們來看看你初等矩陣和它逆矩陣的一些性質：

到這，我們發現初等矩陣可理解為一次初等變換操作，而初等矩陣的逆矩陣其實就是該初等矩陣對應初等變換的一次逆變換。也就是說對矩陣A左(右)乘一個初等矩陣C后再左(右)乘 $C^{-1}$ ，最后得到的矩陣還是A。

而我們知道，任何一個可逆矩陣A都可由一個單位矩陣E經過一系列的初等變換得到。也就是說這一系列初等變換作用在E上就得到了A。我們暫且就認為A就是這一系列初等變換的有序集合。那么 $A^{-1}$ 呢？ $A^{-1}$ 就是A中每個初等變換的逆變換形成的有序集合。

$A^{-1}A=E$ 可以寫成 $A^{-1}AE=E$ ，就相當於先對E實施了集合A中的一系列初等變換操作，接着又實施這一系列操作的逆操作，所以最后得到的還是E。

$(A | E) = (E | A ^ {-1})$ 是矩陣求逆的常用方法。把公式左邊寫成A的增廣形式 (A | E) 是為了同時對A和E實施相同的操作。

我們的變換目標是把A轉化為E， A = AE ，就是對E實施了集合A中的一系列初等變換操作，在實施它的所有逆操作 $A^{-1}$ 就可以回到E了，而 $A^{-1}$ 又同時作用到了E上，所以E就變成了 $A^{-1}$ 。

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