矩陣求逆引理

 首先必須記住的是可逆矩陣A+BCD的逆可以表示成A^-1+X，其中X為未知矩陣

故有(A+BCD)(A^-1+X)=E

E+AX+BCDA^-1+BCDX=E;

(A+BCD)X+BCDA^-1=0

X=-(A+BCD)^-1BCDA^-1

X=-[B(B^-1A+CD)]^-1BCDA^-1

X=-(B^-1A+CD)^-1B^-1B CDA^-1

X=-(B^-1A+CD)^-1CDA^-1 

X=-[C(C^-1B^-1A+D)]^-1CDA^-1

X=-(C^-1B^-1A+D)^-1DA^-1

X=-[(C^-1B^-1+DA^-1)A]^-1DA^-1

X=-A^-1(C^-1B^-1+DA^-1)^-1DA^-1

X=-A^-1[(C^-1+DA^-1B)B^-1]^-1DA^-1 

X=-A^-1B(C^-1+DA^-1B)^-1DA^-1

將其帶入A^-1+X，就得到了引理的結果：

(A+BCD)^-1=A^-1-A^-1B(C^-1+DA^-1B)^-1DA^-1

 

法二來源https://people.cs.umu.se/myshao/teaching/notes/SMW.pdf