矩陣求逆
如果矩陣 \(A\) 和矩陣 \(B\) 滿足 \(A\times B=E\) 則稱 \(B\) 為 \(A\) 的逆矩陣。
如果有這樣的一個 \(B\) ，則稱 \(A\) 是非奇異的，否則稱其為奇異的。
並且，一個可逆矩陣的左逆矩陣等於右逆矩陣。證明：
\[AB=E,CA=E\Rightarrow CAB=B\Rightarrow C=B \]
\(det(A)\) 為矩陣 \(A\) 對應的行列式。\(det(AB)=det(A)det(B)\)。
\[\exists X,AX=0\Rightarrow A奇異\\ det(A)\not=0\Leftrightarrow A 非奇異\\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\ det(A^{-1})=det(A)^{-1} \]
1高斯約旦消元
不同點：高斯消元在每一次枚舉主元后，只會消下面的行，但該消元上面的行也消。
最終的矩陣為對角矩陣。
2矩陣初等變化
- 用一個非零的數乘以某行。
- 將某一行的 \(k\) 倍加到另一行。
- 互換兩行。
單位陣 \(E\) 經過一次初等變換得到的矩陣成為初等矩陣。
一個矩陣乘上初等矩陣得到的結果等於對該矩陣進行一次初等變換。
對行進行變換相當於左乘，對列進行變換相當於右乘。
所以我們通過高斯消元把矩陣 \((A,E)\) 消成 \((E,B)\) 相當於我們對 \(A\) 左乘若干矩陣，對 \(E\) 左乘若干矩陣，不難發現 \(B\) 就是 \(A\) 的逆矩陣。
容易發現在矩陣乘法中，\(C\times (A,B)=(C\times A,C\times B)\)。
於是我們可以用高斯消元來做。
代碼：
#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define N 410
#define M number
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
template<typename T> inline void write(T x) {
if(x < 0) x=-x,putchar('-');
if(x > 9) write(x / 10);
putchar(x%10+'0');
}
template<typename T> inline void writeln(T x) {
write(x);
puts("");
}
int z[N][N*2],n,m;
inline int ksm(int a,int b){
int res=1;
while(b){
if(b&1) (res*=a)%=mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
inline bool guass(){
for(int a=1;a<=n;a++){
for(int b=a;b<=n;b++)
if(z[b][a]!=0){
if(b==a) break;
for(int c=1;c<=m;c++) swap(z[a][c],z[b][c]);
break;
}
if(z[a][a]==0) return 0;
int inv=ksm(z[a][a],mod-2);
for(int b=1;b<=n;b++){
if(b==a) continue;
int k=z[b][a]*inv%mod;
for(int c=1;c<=m;c++){
z[b][c]-=z[a][c]*k;
z[b][c]=(z[b][c]%mod+mod)%mod;
}
}
for(int c=1;c<=m;c++) z[a][c]=z[a][c]*inv%mod;
}
return 1;
}
signed main(){
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++) read(z[i][j]);
z[i][n+i]=1;
}
m=n*2;
if(!guass()){
printf("No Solution\n");
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=n+1;j<=m;j++){
write(z[i][j]);putchar(' ');
}
puts("");
}
return 0;
}